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目 录 1

第一篇复变函数论 1

第一章复数与复变函数 1

第一节复数及其运算 1

第二节复变函数 8

第三节复变函数的极限与连续性 12

第四节初等函数 19

第二章解析函数 29

第一节解析函数 29

第二节解析函数与调和函数的联系 34

第三节解析函数在平面场中的应用 38

第三章复变函数积分 42

第一节复变函数积分及其简单性质 42

第二节柯西积分定理 45

第三节柯西积分公式 49

第四章级数、幂级数 57

第一节函数项级数的基本性质 57

第二节解析函数的幂级数表示 63

第三节单值函数的孤立奇点 76

第一节残数定理 88

第五章残数定理及其应用 88

第二节利用残数定理计算积分、实积分 96

第六章解析变换 115

第一节解析变换的性质 115

第二节分线性变换 118

第三节某些初等函数所表示的变换 127

第二篇傅氏变换与拉氏变换 131

第七章傅氏变换 131

第一节傅氏变换 131

第二节傅氏变换的基本性质 134

第三节多维傅氏变换 140

第八章拉普拉斯变换 146

第一节拉普拉斯变换 146

第二节拉普拉斯变换的性质 149

第三节拉氏变换的反演 158

第三篇数学物理方程 166

第九章数理方程及其定解条件 166

第一节基本方程的建立 166

第二节定解条件及适定性概念 178

第十章分离变量法 190

第一节有界弦的自由振动 190

第二节 非齐次方程与非齐次边界条件 201

的本征值问题 209

第三节斯特姆—刘维尔型方程 209

第四节有界杆的热传导问题 215

第四节拉普拉斯方程的狄利克雷问题 222

第十一章行波法 230

第一节达朗贝尔公式 230

第二节反射波 235

第三节三维波动方程的柯西问题 240

第四节杜哈美原理及应用 249

第一节傅立叶变换法 258

第十二章积分变换法 258

第二节拉普拉斯变换法 263

第十三章格林函数法 272

第一节δ—函数 272

第二节解混合问题的格林函数法 282

第三节解初值问题的格林函数法 289

第四节泊松方程第一边值问题 293

的格林函数解法 293

第十四章变分法 312

第一节变分问题 312

第二节变分问题的直接解法 328

第三节本征值问题的变分求法 336

第四篇特殊函数 344

第十五章勒让德多项式 344

第一节勒让德方程及勒让德多项式 344

第二节勒让德多项式的母函数 353

及其递推公式 353

第三节按勒让德多项式展开 360

第四节连带勒让德多项式 365

第五节球函数 369

第一节 贝塞尔方程与贝塞尔函数 374

第十六章贝塞尔函数 374

第二节贝塞尔函数的母函数 381

及其递推公式 381

第三节按贝塞尔函数展开 390

第四节其它类型的贝塞尔函数 400

第十七章厄米多项式和拉盖尔多项式 407

第一节厄米多项式 407

第二节拉盖尔多项式 414

附录Ⅰ 傅里叶变换表 421

附录Ⅱ 拉普拉斯变换表 423