辛几何讲义PDF电子书下载

第1章 导论和背景知识 1

1.1 一些历史 1

1.1.1 Hamilton 1

1.1.2 Jacobi 2

1.1.3 Lie 3

1.1.4 Cartan 4

1.2 线性辛几何 5

1.2.1 辛向量空间 5

1.2.2 基本例子 6

1.2.3 辛正交补 6

1.2.4 几类特殊的子空间 6

1.2.5 正则形式 7

1.3 辛群 8

1.3.1 辛群 8

1.3.2 二维辛群：Sp(2)=SL(2,R) 8

1.3.3 Gauss定理 8

1.4 线性Hamilton理论 10

1.4.1 Maxwell电动力学 10

1.4.2 Fresnel光学 10

1.4.3 几何光学 11

1.4.4 线性光学 11

1.4.5 Gaussian光学 11

1.4.6 Gaussian光学中的射线追踪 12

1.4.7 Gaussian光学转换成Sp(2) 13

1.4.8 Snell定律 13

1.4.9 折射的矩阵形式 14

1.4.10 常折射率介质中的射线 15

1.4.11 薄透镜 15

1.4.12 薄透镜的焦平面 15

1.4.13 共轭平面和薄透镜方程 16

1.4.14 望远镜 16

1.4.15 主平面 17

1.5 Gaussian光学中的Hamilton方法 17

1.5.1 Gaussian光学中的Hamilton方法 17

1.5.2 Hamilton想法 19

1.5.3 光程 20

1.5.4 光程的一个重要公式 20

1.5.5 光程公式的一个特殊情形 20

1.5.6 光程公式的证明 20

第2章 辛群 23

2.1 基础知识回顾 23

2.1.1 辛向量空间 23

2.1.2 最简单的例子 23

2.1.3 子空间的特殊情况 24

2.1.4 辛子空间 24

2.1.5 正则形式 24

2.1.6 Lagrangian子空间的存在性 25

2.1.7 相容Hermitian结构 25

2.2 极分解的使用 26

2.2.1 线性代数中一些事实的回顾 26

2.2.2 非负自伴随矩阵的平方根 26

2.2.3 极分解 27

2.2.4 辛几何中极分解的使用 27

2.2.5 群Sp（V）是连通的 28

2.2.6 Sp（V）的维数 28

2.2.7 Lagrangian子空间构成的空间的维数 29

2.3 辛群的坐标描述 29

2.4 辛矩阵的特征值 30

2.5 Sp（V）的Lie代数 31

2.6 Sp（V）中元素的极分解 31

2.6.1 回到Sp（V）中元素的极分解的一个断言上 33

2.7 sp（V）的Cartan分解 34

2.8 Sp（V）的紧子群 34

2.9 Sp（V）的Gaussian生成元 34

2.9.1 线性光学 34

第3章 线性辛范畴 39

3.1 范畴理论 39

3.1.1 范畴的定义 39

3.1.2 函子 40

3.1.3 反变函子 40

3.1.4 态射 41

3.1.5 对合函子 41

3.1.6 对换函子 41

3.2 集合和关系 42

3.2.1 有限关系的范畴 42

3.2.2 △X是恒等态射idX 43

3.2.3 结合法则 43

3.3 范畴化“点” 43

3.3.1 FinRel中的“点” 44

3.3.2 态射作用在“点”上 44

3.3.3 回到FinRel范畴上 44

3.3.4 FinRel上的转置 46

3.4 线性辛范畴 46

3.4.1 Γ2*Γ1空间 47

3.4.2 纤维乘积或正合方格 48

3.4.3 转置 48

3.4.4 投射a：Γ2*Γ1→Γ2°Γ1 48

3.4.5 线性典范关系的核和像 49

3.4.6 明Γ2°Γ1是Lagrangian 50

3.4.7 结合法则 50

3.5 LinSym范畴和辛群 51

第4章 辛向量空间的Lagrangian子空间和进一步的Hamilton方法 53

4.1 与有限个Lagrangian子空间横截的Lagrangian子空间 53

4.1.1 Lagrangian-Grassmanian空间 54

4.1.2 L（V,M）的参数化 54

4.1.3 基描述 55

4.2 L（V）上的Sp（V）作用 55

4.2.1 Sp（V）可迁地作用在L（V）的横截对上 55

4.2.2 Sp（V）不可迁地作用在L（V）的横截三元组上 56

4.2.3 sgn（βL）的显式计算 58

4.3 生成函数——Hamilton想法的一个简单例子 60

4.3.1 和M＊横截的子空间 61

第5章 微分运算的回顾、广义Weil恒等式、Moser技巧和Darboux型定理 65

5.1 超代数 65

5.2 微分形式 66

5.2.1 微分形式 66

5.2.2 次 66

5.2.3 局部描述 66

5.3 d算子 67

5.3.1 d算子 67

5.3.2 规则的记忆 68

5.4 导子 68

5.4.1 导子 68

5.4.2 交换子 69

5.4.3 导子和乘法 69

5.5 拉回 69

5.5.1 拉回 69

5.5.2 局部坐标下的拉回 70

5.5.3 链法则 70

5.6 Lie导数 70

5.6.1 无穷小生成元 71

5.6.2 向量场作为微分算子 71

5.6.3 Lie导数 71

5.7 Weil公式 72

5.7.1 内乘积 72

5.7.2 一般的内乘积 72

5.7.3 Weil公式 73

5.7.4 微分形式作为向量场上的多重线性函数 73

5.7.5 外微分的一个公式 74

5.7.6 Jacobi恒等式 76

5.8 广义Weil公式 77

5.8.1 广义Weil公式 77

5.8.2 函子性的使用 78

5.9 链同伦 80

5.9.1 链同伦 80

5.9.2 Poincaeé引理 81

5.10 Moser技巧 81

5.10.1 问题 81

5.10.2 体积形式 82

5.10.3 经典Morse引理 84

5.10.4 Darboux型定理 85

5.10.5 紧流形 86

5.10.6 紧子流形 87

5.10.7 Darboux最初的定理 89

第6章 辛流形和Hamiltonian力学 91

6.1 辛流形的定义 91

6.1.1 辛同胚 91

6.1.2 辛向量场 91

6.1.3 Hamiltonian向量场 92

6.1.4 Hamiltonian向量场是辛的 92

6.1.5 两个辛向量场的Lie括号是Hamiltonian 92

6.2 Poisson括号 92

6.3 Poisson代数 94

6.3.1 Poisson代数 94

6.3.2 Poisson流形 94

6.4 基本的局部例子 94

6.4.1 Hamilton方程 95

6.4.2 线性Hamiltonian 95

6.4.3 二次Hamiltonian 95

6.5 余切丛 97

6.5.1 典范—形式 97

6.5.2 典范二形式 98

6.5.3 使用局部坐标 98

6.5.4 Galileo定律 98

6.5.5 Newton定律：F=ma 99

6.5.6 Lagrangian子流形 99

6.5.7 余切丛的Lagrangian子流形 99

6.5.8 余切丛的横向Lagrangian子流形 99

6.5.9 Q的微分同胚推出T*Q的辛同胚 100

6.5.10 恰当辛流形 101

6.5.11 增加一个“磁场” 103

第7章 余切丛上的Hamiltonian力学 105

7.1 余切丛的回顾 105

7.1.1 余切丛上典范一形式的回顾 105

7.1.2 余切丛上典范二形式的回顾 105

7.1.3 Hamiltonian向量场 106

7.2 余切丛上的Hamiltonian力学：续 106

7.2.1 能量守恒 107

7.2.2 Noether定理 107

7.2.3 动能和势能 107

7.2.4 动能 107

7.2.5 Legendre变换 109

7.2.6 局部坐标下的Legendre变换 109

7.2.7 动能 110

7.3 Euler-Lagrange方程 111

7.3.1 Hamilton方程的第一部分 111

7.3.2 Hamilton方程的第二部分 112

7.3.3 Euler-Lagrange方程 112

7.3.4 力学相似性原理 112

7.3.5 Kepler第三定律 113

7.4 余切丛上的变分计算 113

7.4.1 可变端点 117

7.5 一些Riemannian几何 117

7.5.1 指数映射 118

7.5.2 Gauss引理 119

7.5.3 测地线局部最小化弧长 120

7.5.4 测地线局部最小化能量 121

7.6 另一个变分问题——Hamilton原理 121

7.6.1 Hamilton原理 122

7.7 附录：作为Lagrangian子流形的Legendre变换 123

第8章 约化 127

8.1 Frobenius定理 127

8.1.1 微分系统（也称为分布） 127

8.1.2 微分系统的积分流形 127

8.1.3 一形式的例子 128

8.1.4 不可积一形式 128

8.1.5 淹没 128

8.1.6 叶状结构 128

8.1.7 纤维化 129

8.1.8 微分系统的向量场 129

8.1.9 Frobenius定理 129

8.2 闭形式的约化 132

8.2.1 Frobenius定理的主要应用 132

8.3 淹没的水平和基本形式 133

8.3.1 回到闭形式的约化 134

8.3.2 余迷向浸入的约化 135

8.3.3 约化和Poisson括号 136

第9章 辛群作用和力矩映射 139

9.1 Lie群背景知识和记号 139

9.1.1 Lie群背景知识 139

9.1.2 左平移和右平移 139

9.1.3 f-关联向量场 139

9.1.4 左不变向量场生成右平移 140

9.1.5 Lie代数 140

9.1.6 共轭和伴随表示 141

9.1.7 群上三种自然作用 141

9.1.8 G-流形和等变映射 141

9.1.9 Lie代数的作用 141

9.1.10 群作用的生成向量场 142

9.1.11 群作用决定其Lie代数的作用 142

9.1.12 证明“万有性” 143

9.1.13 回到伴随表示和余伴随表示 143

9.2 辛作用 144

9.2.1 辛作用 144

9.2.2 弱Hamiltonian作用 144

9.2.3 弱力矩映射 144

9.3 Hamiltonian作用及其力矩映射 145

9.3.1 Hamiltonian作用 145

9.3.2 子群的诱导作用 145

9.3.3 更详细的等变条件 145

9.3.4 到Poisson括号的同态 146

9.3.5 修改弱力矩映射使之成为等变的：G是紧的情形 146

9.3.6 修改弱力矩映射使之成为等变的：M是紧的和连通的情形 147

9.3.7 恰当辛流形的力矩映射 147

9.3.8 线性动量 148

9.3.9 全线性动量 148

9.3.10 全线性动量守恒 149

9.3.11 GL（V）作用在V上 149

9.3.12 角动量 149

9.3.13 辛表示 150

第10章 力矩映射续和约化 151

10.1 力矩映射的导数 151

10.1.1 力矩映射的微分是赋值映射的转置 152

10.1.2 赋值映射的像是力矩映射核的正交补 152

10.1.3 可迁Hamiltonian空间覆盖余伴随轨道 152

10.2 Kostant-Souriau形式 152

10.2.1 Kostant-Souriau形式：1 152

10.2.2 Kostant-Souriau形式：2（G-不变性） 153

10.2.3 Kostant-Souriau形式：3（σ是闭的和l是其力矩映射） 154

10.2.4 Kostant-Souriau定理 154

10.3 力矩映射的导数：续 154

10.3.1 力矩映射的导数的像 154

10.3.2 力矩映射的导数的像的零化子空间在m∈M是稳定化子代数 155

10.4 力矩映射下余伴随轨道的逆像和约化 155

10.4.1 完全相交 155

10.4.2 完全相交比横截相交更广泛 156

10.4.3 在力矩映射下余伴随轨道的逆像是余迷向的 156

10.4.4 Q的维数公式 157

10.4.5 当Q的零叶状结构是纤维化时基流形的维数 157

10.4.6 约化Hamiltonian 158

10.4.7 Marsden-Weinstein约化空间 158

10.4.8 重新诠释Marsden-Weinstein约化空间 159

10.4.9 例子 159

10.4.10 有效势能 160

第11章 集体运动和半直积 161

11.1 集体运动的抽象定义 161

11.1.1 例子：刚体 162

11.1.2 L和Q是某个力矩映射的分支 162

11.2 解集体Hamiltonian的Hamilton方程 163

11.2.1 回顾：Legendre变换 163

11.2.2 M上向量场的两种构造方法 163

11.2.3 四个简单步骤解集体Hamiotonian方程 165

11.3 半直积 167

11.3.1 群和向量空间的半直积 167

11.3.2 乘法的矩阵记忆法 167

11.3.3 G=H？V的Lie代数g 168

11.3.4 伴随表示 168

11.3.5 余伴随表示 168

11.3.6 余伴随轨道的Wigner-Mackey分类 169

11.3.7 几个例子 170

11.4 集体和不变Hamiltonian 178

11.4.1 集体和不变Hamiltonian是Poisson括号交换的 178

11.4.2 H和f是互相中心化的吗 179

11.4.3 不变函数的中心化 179

11.4.4 “集体的”三种形态 180

第12章 Marle常秩嵌入定理、力矩映射的正则形式和辛诱导 181

12.1 紧群作用 181

12.1.1 群的平均化 181

12.1.2 不变Riemann度量 181

12.1.3 Mostow定理 182

12.1.4 轨道型 183

12.1.5 忠实性或有效性 184

12.1.6 轨道型的数目是局部有限的 184

12.1.7 紧群辛表示的不动向量空间是辛的 186

12.2 Marle常秩嵌入定理 187

12.2.1 辛法丛 187

12.2.2 Marle常秩嵌入定理 188

12.3 正则形式和Duistermaat-Heckman定理 189

12.3.1 向量值形式 189

12.3.2 使用余迷向嵌入定理 191

12.3.3 力矩映射零水平集附近的力矩映射的正则形式 191

12.3.4 邻近的约化空间 191

12.3.5 G是环面的情形 191

12.4 T*G的重生性质和辛诱导 192

12.4.1 T*G上G×G作用 192

12.4.2 右作用的力矩映射 192

12.4.3 左作用的力矩映射 193

12.4.4 总结 193

12.4.5 T*G的重生性质 193

12.5 辛诱导 194

12.5.1 作为向量丛的模型空间及其力矩映射 196

12.5.2 迷向轨道附近力矩映射的正则形式 196

第13章 环面作用的凸性定理 197

13.1 局部凸性 198

13.1.1 回顾环面情形下力矩映射的正则形式 198

13.2 一些Bott-Morse理论 200

13.2.1 临界点集和Hessian 200

13.2.2 Morse函数和Morse-Bott函数 200

13.2.3 梯度流 200

13.2.4 稳定和不稳定流形 201

13.2.5 指标 201

13.2.6 当没有n？=1时最小值的唯一性 201

13.2.7 水平集的连通性 202

13.3 凸性定理的证明 203

13.4 力矩多面体的精细结构 204

第14章 Hamiltonian配边、局部化和线性化 205

14.1 Liouville测度和Duistermaat-Heckman测度 206

14.1.1 Liouville测度 206

14.1.2 Duistermaat-Heckman测度 206

14.1.3 例子：Archimedes定理 206

14.1.4 力矩映射的存在性 207

14.2 可能是退化的二形式的Poisson代数 207

14.2.1 P（M,ω）空间 207

14.2.2 P（M,ω）上的乘法和括号 208

14.2.3 该构造的极端情形 209

14.3 Duistermaat-Heckman积分 209

14.4 配边的使用 209

14.4.1 配边关联的第一象征 209

14.4.2 等变上同调群 210

14.5 恰当Hamiltonian配边 212

14.5.1 恰当力矩映射 212

14.5.2 η-极化Hamiltonian配边 214

14.6 线性化定理 215

14.6.1 圈作用情形 215

14.6.2 带孤立不动点的圈作用 215

14.6.3 没有不动点的情形 216

14.6.4 一般的Hamiltonian线性化定理 218

第15章 线性化定理的应用 221

15.1 导引 221

15.2 线性环面作用及其Duistermaat-Heckman测度 223

15.2.1 线性环面作用的回顾 223

15.2.2 环面的复表示 223

15.2.3 环面的实表示 224

15.2.4 环面的辛表示 224

15.2.5 力矩映射的像 224

15.2.6 多面体△α 225

15.2.7 极化权 225

15.2.8 归一化某些体积 228

15.2.9 线性空间的Duistermaat-Heckman测度 229

15.3 线性化定理的右边部分 230

15.4 带孤立不动点的环面作用的Duistermaat-Heckman测度 231

第16章 极小偶对 233

16.1 主丛 234

16.1.1 Weinstein的约化构造 235

16.1.2 联络和联络形式 235

16.1.3 联络形式 236

16.1.4 关联丛 237

16.2 联络形式和力矩映射的配对 237

16.2.1 T*P上的联络和典范一形式 239

16.2.2 证明等式（16.2.3） 239

16.3 丛的拉回 240

16.3.1 主丛拉回的概念 240

16.3.2 与约化空间（(T*P)-×F）//G的关系 241

16.4 曲率及其应用 242

16.4.1 使用曲率 242

16.4.2 P上共变外导数和曲率形式 243

16.4.3 曲率作为B上取值在g（P）内的二形式 243

16.4.4 关联丛上的曲率形式 243

16.4.5 曲率和力矩映射的配对 244

16.4.6 F（P）上的形式σθ 244