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第1章 行列式 1

1.1二阶与三阶行列式 1

1.1.1二元线性方程组与二阶行列式 1

1.1.2三元线性方程组与三阶行列式 2

1.2排列 4

1.3 n阶行列式的定义 5

1.3.1 n阶行列式的定义 5

1.3.2几类特殊的行列式 7

1.4行列式的性质 8

1.5行列式按行（列）展开 14

1.6克莱姆法则 20

1.6.1非齐次线性方程组 20

1.6.2齐次线性方程组 22

1.7行列式的几何应用 23

1.7.1二阶行列式的几何解释 23

1.7.2三阶行列式的几何解释 23

1.7.3行列式的若干几何应用 24

习题 25

第2章 矩阵 29

2.1矩阵的概念 29

2.1.1矩阵的概念 29

2.1.2特殊矩阵 32

2.2矩阵的运算 35

2.2.1矩阵的加法 35

2.2.2矩阵的数乘 37

2.2.3矩阵的乘法 37

2.2.4转置矩阵 40

2.2.5共轭矩阵 42

2.2.6方阵的行列式 43

2.3逆矩阵 43

2.3.1逆矩阵的概念 43

2.3.2伴随矩阵 44

2.4分块矩阵 48

2.4.1分块矩阵的概念 48

2.4.2分块矩阵的加法 50

2.4.3分块矩阵的数乘 50

2.4.4分块矩阵的乘法 51

2.4.5分块对角矩阵的逆矩阵 54

2.4.6分块矩阵的转置 55

2.4.7对角矩阵和反对称矩阵 57

2.4.8分块矩阵的共轭 58

2.5矩阵的初等变换 58

2.5.1矩阵的秩 58

2.5.2初等变换与初等矩阵 60

2.5.3初等变换与逆矩阵 61

2.5.4初等变换与矩阵的秩 65

习题 67

第3章 向量组的线性相关性 74

3.1 n维向量及其线性运算 74

3.1.1 n维向量的概念 74

3.1.2 n维向量的线性运算 75

3.2向量组的线性相关性 76

3.2.1向量组与线性组合 76

3.2.2向量组的线性相关性 79

3.2.3向量组的线性相关性的判断及其性质 81

3.3向量组的秩 85

3.3.1向量组的最大无关组 85

3.3.2向量组的秩 87

3.3.3向量组的秩与矩阵的秩的关系 88

3.4向量空间 90

3.4.1向量空间概述 90

3.4.2子空间 91

3.4.3向量空间的基与维数 91

3.4.4向量在给定基下的坐标 92

3.5应用实例 93

习题 94

第4章 线性方程组 98

4.1用消元法解线性方程组 98

4.2线性方程组有解的判别定理 102

4.3线性方程组解的结构 108

4.3.1齐次线性方程组的解的结构 108

4.3.2非齐次线性方程组的解的结构 112

4.4线性方程组的应用 114

4.4.1网络流模型 114

4.4.2人口迁移模型 115

4.4.3电网模型 117

4.4.4经济系统的平衡 117

4.4.5配平化学方程式 118

习题 120

第5章 相似矩阵与二次型 124

5.1向量的内积、长度及正交性 124

5.1.1向量的内积 124

5.1.2正交向量组 125

5.1.3线性无关向量组的正交化方法 126

5.1.4正交阵 127

5.2方阵的特征值和特征向量 128

5.2.1特征值和特征向量的概念 128

5.3.2特征值和特征向量的性质 131

5.3相似矩阵 132

5.3.1相似矩阵 132

5.3.2矩阵可与对角阵相似的条件 133

5.4对称阵的对角化 136

5.4.1对称阵的特征值和特征向量 136

5.4.2对称阵的相似对角化 136

5.5二次型及其标准型 139

5.5.1二次型及其矩阵表示式 139

5.5.2用正交变换化二次型为标准形 141

5.6正定二次型 142

5.7若干应用问题 144

5.7.1离散动态系统模型 144

5.7.2矩阵对角化在分析中的应用 145

5.7.3正定矩阵的应用 146

习题 147

第6章 线性空间与线性变换 149

6.1线性空间的定义与性质 149

6.1.1线性空间的定义 149

6.1.2线性空间的性质 152

6.2维数、基与坐标 152

6.2.1基与维数定义 152

6.2.2坐标的定义 153

6.2.3线性空间的同构 155

6.3基变换与坐标变换 155

6.3.1基变换公式与过渡矩阵 156

6.3.2坐标变换公式 157

6.4线性变换 161

6.4.1映射 161

6.4.2从线性空间Vn到Um的线性变换 161

6.4.3线性变换的性质 163

6.5线性变换的矩阵表示式 164

6.5.1线性变换的标准矩阵 164

6.5.2线性变换在给定基下的矩阵 165

6.5.3线性变换与其矩阵的关系 166

6.5.4线性变换在不同基下的矩阵 168

习题 168

参考文献 171