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第一篇 微积分——变量的数学 3

微积分思想发展简史 3

第1章 极限与连续 6

1.1数列极限 6

1.1.1从前有个数 6

1.1.2数列极限及其定义 8

1.1.3数列极限的收敛准则 10

1.1.4数列极限的运算法则 12

1.2函数极限 15

1.2.1对函数的新认识 15

1.2.2 x→∞时函数的极限 17

1.2.3 x→c时函数的极限 20

1.2.4重要极限lim x→0sinx/x=1 23

1.3无穷之旅 27

1.3.1无穷小——消逝量的灵魂 27

1.3.2无穷小的阶 28

1.3.3无穷之旅 31

1.4函数的连续性 33

1.4.1函数连续的概念 33

1.4.2初等函数的连续性 35

1.4.3连续到底为何物 38

习题一 39

第2章 导数与微分及其应用 43

2.1导数的定义和运算 43

2.1.1从切线问题到导数的定义 43

2.1.2导函数和导数公式 45

2.1.3导数的运算法则 47

2.1.4高阶导数 50

2.2微分与微分方程 52

2.2.1从费马的“等同法”到巴罗的“微分三角形” 52

2.2.2微分的定义和计算 53

2.2.3微分方程：逻辑斯谛模型和衰减模型 55

2.3微分中值定理及其应用 59

2.3.1微分中值定理 59

2.3.2函数的单调性 62

2.3.3洛必达法则 63

2.4导数的应用 67

2.4.1函数的极值 67

2.4.2函数的最值 69

2.4.3曲线的凹凸性与拐点 71

2.4.4经济学中的边际分析和弹性分析 72

习题二 74

第3章 积分及其应用 78

3.1积分的概念 78

3.1.1从莱布尼兹的“和与差”说起 78

3.1.2不定积分的概念和基本公式 79

3.1.3漫漫路在何方：对面积的艰难探索 81

3.1.4定积分的概念和性质 83

3.2微积分基本定理 85

3.2.1帝遣牛顿，万物光明 85

3.2.2积分上限函数和微积分基本定理 87

3.3积分的计算 90

3.3.1不定积分的换元积分法 90

3.3.2定积分的换元积分法 97

3.3.3分部积分法 100

3.4积分的应用 104

3.4.1微积分的思想与微元分析法 104

3.4.2几何应用：平面图形的面积 105

3.4.3经济应用 107

3.4.4变量可分离方程 110

习题三 112

第二篇 线性代数——处理线性关系的数学 117

代数学思想发展简史 117

第4章 矩阵与行列式 121

4.1矩阵的概念与基本运算 121

4.1.1从鸡兔同笼谈起 121

4.1.2矩阵的线性运算和乘法运算 126

4.1.3矩阵的转置运算 130

4.2可逆矩阵 132

4.2.1从数的倒数到逆矩阵 132

4.2.2逆矩阵的几个基本性质 134

4.3行列式 135

4.3.1线性方程组再探 135

4.3.2 n阶行列式的定义 137

4.3.3行列式的性质 140

4.3.4行列式与矩阵的关系 144

4.3.5克拉默法则 146

习题四 147

第5章 矩阵的秩与线性方程组 150

5.1初等行变换求逆法 150

5.1.1从高斯消元法到矩阵的标准形 150

5.1.2初等行变换求逆法 154

5.2矩阵的秩与线性方程组 157

5.2.1站在初等行变换的肩膀上 157

5.2.2矩阵中的黄金——矩阵的秩 160

5.2.3线性方程组解的基本定理 164

5.2.4线性方程组解的结构 171

习题五 174

第三篇 概率统计——随机性的数学 179

概率论与统计学思想发展简史 179

第6章 随机事件与概率 184

6.1随机事件及其运算 184

6.1.1从赌金分配问题谈起 184

6.1.2随机现象与随机事件 185

6.1.3随机事件的关系与运算 187

6.2古典概型 190

6.2.1从惠更斯、伯努利到孔多塞和拉普拉斯 190

6.2.2排列与组合 193

6.2.3古典概型 195

6.3概率的定义和性质 198

6.3.1概率的统计定义 198

6.3.2概率的公理化定义 201

6.3.3概率的基本性质 202

6.4独立性与全概公式 203

6.4.1条件概率 203

6.4.2独立性与二项概型 205

6.4.3全概公式和逆概公式 208

习题六 213

第7章 随机变量及其分布 218

7.1离散型随机变量 218

7.1.1随机变量 218

7.1.2离散型随机变量及其概率分布 219

7.1.3离散型随机变量的期望 223

7.1.4离散型随机变量的方差 226

7.2数据的描述分析及其Excel计算 227

7.2.1从《末日审判书》、霍布斯到格朗特和凯特勒 227

7.2.2数据的图表展示及其Excel计算 230

7.2.3二项分布的正态近似 235

7.3连续型随机变量 237

7.3.1连续型随机变量的密度函数与分布函数 237

7.3.2连续型随机变量的期望和方差 241

7.3.3正态分布及其应用 243

7.4统计量及其分布 248

7.4.1统计量 249

7.4.2中心极限定理 250

7.4.3 x2分布和t分布 252

习题七 255

第8章 统计推断初步 261

8.1点估计 261

8.1.1矩法估计 261

8.1.2点估计好坏的衡量标准 263

8.1.3极大似然估计 265

8.2假设检验 267

8.2.1假设检验的基本思想 267

8.2.2单个正态总体参数的假设检验 269

8.2.3奈曼和皮尔逊的故事 272

8.3区间估计 274

8.3.1区间估计的基本思想 274

8.3.2单个正态总体参数的区间估计 274

习题八 277

附录：用Excel生成概率分布表 279

习题答案与提示 289

参考文献 300

后记 304