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第一章曲线论初步 1

§1．曲线和曲线方程 1

§2．切线和密切平面 3

§3．曲线的自然参数和相伴三面形 6

目 录 7

序 7

§4．关于正交三脚形的预备定理和谢列－佛锐耐公式 7

§5．螺旋线和圆周 9

第二章张量代数初步 12

§6．平面仿射坐标系 12

§7．数性积和协变坐标 14

§8．斜积和余向量 16

§9．张量的概念 19

§10．张量代数的基本运算 23

§11．二价对称张量 30

§12．张量的收缩 35

第三章曲面和曲面的切平面 37

§13．曲面和曲面的参数化 37

§14．曲面的切线和切平面 41

§15．曲面族的包络 44

§16．可展曲面 48

§17．同空间曲线有关的可展曲面 51

第四章曲面的第一二次形式 56

§18．局部坐标系和曲面的度量张量 56

§19．线性元素和曲面的贴合 58

§20．曲面上曲线的交角和保角映像 61

§21．曲面上的曲线族．正交轨线和网 63

§22．曲面面积．等面对应 65

§23．法曲率和第二二次形式 69

第五章曲面的第二二次形式 69

§24．麦尼埃定理 71

§25．第二二次形式的张量和它的不变量 74

§26．曲面上点的分类 76

§27．共轭方向和共轭网 82

§28．渐近曲线 85

§29．曲率线 87

第六章旋转曲面及其推广 90

§30．旋转曲面和旋转曲面的扭曲 90

§31．旋转曲面的第二二次形式 92

§32．特殊旋转曲面 94

§33．螺旋面 99

§34．曲纹曲面 100

§35．管道形曲面 102

§36．直纹面的线性元素和切平面 103

第七章直纹面和直线汇 103

§37．作为直纹面的可展曲面 104

§38．相伴点和腰点 106

§39．分布参数 107

§40．直纹面的渐近曲线 108

§41．直线汇和它的基本二次形式 110

§42．线汇的可展曲面和焦曲面 112

§43．法线汇 114

第八章 曲面上向量埸和张量埸 116

§44．数量埸 116

§45．向量埸的旋度 118

§46．向量塌的发散量 121

§47．拉普拉斯塌，调和函数和等温坐标 122

§48．高斯导数公式 126

§49．向量的平行移动 128

§50．绝对微分法和协变微分法 132

§51．协变导数 136

§52．向量塌的基本微分方程 139

第九章测地曲率与测地线 146

§53．测地曲率 146

§54．测地线 148

§55．测地塌 151

§56．测地－等温塌 154

§57．测地－平分线埸 155

§58．李乌维尔曲面 156

§59．旋转曲面的测地线 160

§60．测地塌曲线的切线汇 160

§61．温卡尔顿曲面 163

第十章网论初步 165

§62．向量埸的相伴点 165

§63．网的相伴直线和车彼雪夫向量 167

§64．柯达齐网 170

§65．正交网 171

§66．测地网 172

§67．车彼雪夫网 173

§68．移动曲面 175

§69．等路网 177

§70．迷向方向与迷向网 179

第十一章曲面的映像 181

§71．可微分对应的一般性质 181

§72．曲面的保角对应 183

§73．平面的保角对应 187

§74．反演 190

§75．球极平面射影 195

§76．测地对应 197

§77．球面映像 202

§78．高斯定理 209

第十二章 总曲率看作是曲面内蕴几何的不变量 209

§79．高斯－波恩奈定理 213

§80．关于多连通区域和闭曲面的高斯－波恩奈定理 215

§81．协变微分运算顺序的变换 218

§82．彼得松定理 221

§83．扭曲方程 225

§84．旋转曲面的总曲率 227

第十三章定曲率曲面 229

§85．定曲率曲面上的测地－等温埸 229

§86．定曲率曲面的线性元素和它们的可贴合性 230

§87．伪球面上的测地线和测地线束 232

§88．伪球面的内蕴几何 240

§89．定曲率曲面的测地线 242

§90．面积最小的曲面 245

第十四章极小曲面 245

§91．伴随曲面 246

§92．许华兹公式 247

§93．极小曲面的球面映像和扭曲 249

§94．维尔斯特拉斯公式 251

第十五章三重正交曲面系 254

§95．空间的曲线坐标 254

§96．三重正交曲面系 258

§97．拉乜条件 260

§98．共焦二次曲面 262

§99．有心二次曲面上的椭圆坐标 265

参考文献 268

名词索引 269

人名索引 277

符号索引 279