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目 录 1

1新兴学科——分形学及其创立过程 1

1.1分形学的创立是一场科学革命 2

1.2分形学的提出什么是分形 5

1.3数学符号集合及其运算 12

1.4分形学的发展及研究趋势 15

1.5不规则形体内在规律特征的新认识 17

1.6如何理解分形产生的物理机制和分维 18

2分形的维数 20

2.1拓扑维数与毫斯道夫维数 20

2.2关于分形的维数 25

2.3谱维数分数维时空 45

2.4分形维数的计算方法 56

2.5分维的测量方法简介 58

2.6随尺度和范围变化的分数维 79

2.7维数印刷 82

2.8 Alexander——orbach猜想 85

3数学家的创造——规则分形 88

3.1康托尔三分集康托尔尘埃及其维数 88

3.2三种谢尔宾斯基线集 95

3.3人造海锦——谢尔宾斯基面集 98

3.4科赫魔线 99

3.5魔岛边界 103

3.6皮亚诺曲线 106

3.7规则分形小结 108

3.8谢尔宾斯基地毯的自仿射构造及其分数 110

3.9几种例子 113

4自然界的构型——随机分形 120

4.1随机性决定性与不可逆性概述 120

4.2自相似性存在的区域 121

4.3埃伦法斯特夫妇的“罐子模型” 125

4.4随机分形的典范——海岸线 126

4.5随机分形的典型——城市边界 129

4.6布朗微粒的随机行走 134

4.7拉普拉斯分形的生长及其分维 136

5自相似性和测度 146

5.1自相似性自相似集 146

5.2自相似变换 147

5.3分形学中的原理 153

5.4 广义体积 161

5.5系统的容度闵可夫斯基“香肠” 163

5.6 Hausdorff测度μD几种特殊测度 166

5.7分形的归类及几种分形（胖分形）定义 171

5.8多重分形的a—f（a）语言和q—Dq语言 184

5.9多重分形与统计热力学类比 187

5.10多重分形实例 190

5.11分形的射影、乘积、交和分形渗流 195

5.12多重分形与定域系统 204

6混沌现象及其特征 211

6.1如何理解混沌 211

6.2什么是混沌混沌的特征 215

6.3混沌如何产生 220

6.4几种曲型混沌系统 223

6.5对初始条件的依赖性 233

6.6非线性科学孤子（孤波）简介 235

6.7通向混沌的分岔道路 243

6.8非平衡是有序的源泉 247

6.9映射Z→z2＋C 248

6.10逻辑斯缔映射 254

6.11费根鲍姆序列两种费根鲍姆常数 260

6.12四维时空中的超混沌流 265

6.13混沌游戏 267

6.14柯尔莫哥洛夫熵关联维数及其计算 269

6.15李雅普诺夫指数 273

6.16物理学中的非线性与线性 282

7湍流及奇怪吸引子 290

7.1湍流和自组织 290

7.2奇怪吸引子 294

7.3谁发现了第一个奇怪吸引子 300

7.4流映射奇怪吸引子和面包师变换 306

7.5奇怪吸引子种种（一） 318

7.6奇怪吸引子种种（二） 330

7.7耗散流的吸引子和简单吸引子 341

7.8复映射的吸引子与吸引盆 346

7.9依农怪吸引子茹厄勒的怀疑 356

7.10吸引域的分形边界和庞加莱映象 358

7.11 自然界中的噪声及其分形结构 361

8富里叶变换与子波变换 368

8.1传统富里叶级数展开和富氏变换 369

8.2富氏变换的缺点及子波变换 373

8.3关于多分辨分析（multiresolution analysis） 377

8.4分形学中常用的几种解析小波 379

8.5高维小波的定义法 380

8.6小波函数的正则性 382

8.7正交小波和广义de Rham函数 385

9大自然本身描绘的曲线和曲面 392

9.1无规行走 392

9.2指数在〔0,1〕之间的运动轨迹 395

9.3 R/S方法及频谱分析法 399

9.4地貌，云彩的逼真模拟 402

9.5两种信号模型 405

10分形系统的子波变换 411

10.1测度与相关性 411

10.2康托尔集的符号序列 415

10.3分岔环与特征时间 418

10.4两种圆映射 420

10.5具有均匀码尺的雪花分形 423

10.6具有非均匀码尺的雪花分形 425

10.7扩散凝聚集团的子波变换 428

10.8锌铜沉积集团的子波变换 431

10.9动力系统小因子理论 435

11分形物理与分形化学 437

11.1分形学在物理研究中的应用 438

11.2分形声源的噪声及其污染 443

11.3白噪声、分形噪声与仪器的灵敏度 450

11.4表面分形及其分维测量 453

11.5高分子的分形结构及其分维 456

11.6地震的G—R关系式与三种广义分维 461

12新方法新材料 472

12.1如何计算无标度域 472

12.2如何计算分形曲线的维数 476

12.3如何计算平面分形图的分维 479

12.4如何计算分形曲面的分维 481

12.5如何计算时间序列分维 482

12.6纳米硅薄膜分形凝聚模型 488

12.7纳米硅薄膜的生长动力学与计算模拟 497

附录 506

参考文献总目录 510

后记 525