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第一章 向量代数 1

§1 向量的线性运算 1

1.1 向量的概念、记号和几何表示 1

1.2 向量的线性运算 3

1.3 向量的分解 7

1.4 在三点共线问题上的应用 9

习题1.1 14

§2 仿射坐标系 17

2.1 仿射坐标系的定义 17

2.2 向量的坐标 19

2.3 几何应用举例 21

习题1.2 24

§3 向量的内积 26

3.1 向量的投影 26

3.2 内积的定义 28

3.3 内积的双线性性质 29

3.4 用坐标计算内积 31

习题1.3 33

§4 向量的外积 34

4.1 三个不共面向量的定向 34

4.2 外积的定义 35

4.3 外积的双线性性质 36

4.4 用坐标计算外积 37

习题1.4 39

§5 向量的多重乘积 40

5.1 二重外积 40

5.2 混合积 41

5.3 用坐标计算混合积 42

习题1.5 45

1.1 一般方程与参数方程 47

§1 图形与方程 47

第二章 空间解析几何 47

1.2 柱坐标系和球坐标系 50

习题2.1 51

§2 平面的方程 53

2.1 平面的方程 53

2.2 平面一般方程的系数的几何意义 56

2.3 平面间的位置关系 57

2.4 三元一次不等式的几何意义 58

习题2.2 60

3.1 直线的两类方程 62

§3 直线的方程 62

3.2 直线与平面的位置关系，共轴平面系 65

3.3 直线与直线的位置关系 69

习题2.3 72

§4 涉及平面和直线的度量关系 76

4.1 直角坐标系中平面方程系数的几何意义 76

4.2 距离 76

4.3 夹角 80

习题2.4 81

5.1 旋转面 84

§5 旋转面、柱面和锥面 84

5.2 柱面 93

5.3 锥面 95

习题2.5 98

§6 二次曲面 102

6.1 压缩法 102

6.2 对称性 105

6.3 平面截线法 106

习题2.6 110

§7 直纹二次曲面 111

7.1 双曲抛物面的直纹性 112

7.2 单叶双曲面的直纹性 116

习题2.7 119

第三章 坐标变换与二次曲线的分类 122

§1 仿射坐标变换的一般理论 122

1.1 过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式 123

1.2 图形的坐标变换公式 124

1.3 过渡矩阵的性质 127

1.4 代数曲面和代数曲线 130

1.5 直角坐标变换的过渡矩阵、正交矩阵 131

习题3.1 134

§2 二次曲线的类型 136

2.1 用转轴变换消去交叉项 137

2.2 用移轴变换进一步简化方程 137

习题3.2 141

§3 用方程的系数判别二次曲线的类型、不变量 142

3.1 二元二次多项式的矩阵 144

3.2 二元二次多项式的不变量I1，I2，I3 145

3.3 用不变量判别二次曲线的类型 148

*3.4 半不变量K1 149

习题3.3 153

§4圆锥曲线的仿射特征 154

4.1 直线与二次曲线的相交情况 155

4.2 中心 156

4.3 渐近方向 157

4.4 抛物线的开口朝向 159

4.5 直径与共轭 159

4.6 圆锥曲线的切线 162

习题3.4 163

§5 圆锥曲线的度量特征 167

5.1 抛物线的对称轴 167

5.2 椭圆和双曲线的对称轴 169

习题3.5 173

第四章 保距变换和仿射变换 175

§1 平面的仿射变换与保距变换 176

1.1 一一对应与可逆变换 176

1.2 平面上的变换群 178

1.3 保距变换 180

1.4 仿射变换 181

习题4.1 185

§2 仿射变换基本定理 186

2.1 仿射变换决定的向量变换 187

2.2 仿射变换基本定理 190

2.3 关于保距变换 191

2.4 二次曲线在仿射变换下的像 192

2.5 仿射变换的变积系数 193

习题4.2 195

§3 用坐标法研究仿射变换 196

3.1 仿射变换的变换公式 196

3.2 变换矩阵的性质 200

3.3 仿射变换的不动点和特征向量 203

3.4 保距变换的变换公式 205

习题4.3 207

§4 图形的仿射分类与仿射性质 211

4.1 平面上的几何图形的仿射分类和度量分类 211

4.2 仿射概念与仿射性质 212

*4.3 几何学的分类 214

习题4.4 215

§5 空间的仿射变换与保距变换简介 216

5.1 定义和线性性质 217

5.2 空间仿射变换导出空间向量的线性变换 217

5.3 空间仿射变换基本定理 217

5.4 在规定的坐标系中空间仿射变换的变换公式 219

5.5 不动点和特征向量 220

5.6 空间的刚体运动 220

习题4.5 221

第五章 射影几何学初步 222

§1 中心投影 222

习题5.1 228

§2 射影平面 230

2.1 中心直线把与扩大平面 230

2.2 扩大平面和中心直线把上的“线”结构 231

2.3 点与线的关联关系 232

2.4 射影平面的定义 233

习题5.2 234

§3 交比 235

3.1 普通几何中的交比 235

3.2 中心直线把和扩大平面上的交比 240

3.3 调和点列和调和线束 243

习题5.3 244

§4 射影坐标系 246

4.1 中心直线把上的射影坐标系 247

4.2 扩大平面上的射影坐标系 249

4.3 扩大平面上的仿射射影坐标系 251

4.4 射影坐标的应用 252

4.5 对偶原理 256

习题5.4 258

§5 射影坐标变换与射影变换 260

5.1 射影坐标变换 261

5.2 射影映射和射影变换 263

5.3 射影映射基本定理 265

5.4 射影变换公式和变换矩阵 266

习题5.5 269

6.1 射影平面上的二次曲线及其矩阵 271

§6 二次曲线的射影理论 271

6.2 二次曲线的射影分类 273

6.3 两点关于圆锥曲线的共轭关系 275

6.4 配极映射 278

6.5 几个著名定理 282

习题5.6 284

附录 行列式与矩阵 286

一、行列式 286

二、矩阵 289

习题答案和提示 294