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第1章 线性代数 1

1 n阶行列式 1

问题与解答(1.1.1-1.1.128) 3

1. 基本概念(1.1.1-1.1.12) 3

2. 基本性质(1.1.13-1.1.26) 7

3. 行列式的计算方法(1.1.27-1.1.122) 12

(1) 降阶法(1.1.27-1.1.37) 16

(2) 目标行列式法(1.1.38-1.1.67) 16

(3) 升阶法(1.1.68-1.1.71) 29

(4) 递推法(1.1.72-1.1.88) 32

(5) 归纳法(1.1.89-1.1.92) 41

(6) 多项式法(1.1.93-1.1.99) 43

(7) 分解法(1.1.100-1.1.110) 47

(8) 换元法(1.1.111-1.1.117) 53

4. 行列式的求导(1.1.118-1.1.122) 56

5. 克莱姆(Cramer)法则的应用(1.1.123-1.1.128) 59

2 矩阵及其运算 62

问题与解答(1.2.1-1.2.149) 66

1. 矩阵的线性运算及乘法(方)运算(1.2.1-1.2.59) 66

2. 逆矩阵及其求法(1.2.60-1.2.100) 88

3. 矩阵方程的求解(1.2.101-1.2.117) 102

4. 分块矩阵及其运算(1.2.118-1.2.149) 109

3 向量组的线性相关性与矩阵的秩 128

问题与解答(1.3.1-1.3.103) 130

1. 向量的线性运算(1.3.1-1.3.3) 130

2. 讨论线性相(无)关性及线性表示(1.3.4-1.3.23) 130

3. 判定、证明线性相(无)关性(1.3.24-1.3.52) 139

4. 向量组间的线性表示、等价、极大无关组及秩(1.3.53-1.3.82) 150

5. 矩阵的秩(1.3.83-1.3.103) 160

4 线性方程组 166

1. 讨论解的存在性、解存在的条件(1.4.1-1.4.22) 168

问题与解答(1.4.1-1.4.103) 168

2. 基础解系(1.4.23-1.4.39) 178

3. 解的结构(1.4.40-1.4.48) 184

4. 讨论同解性及同解的条件(1.4.49-1.4.56) 187

5. 求方程组的解(1.4.57-1.4.58) 191

6. 含参变量线性方程组的讨论与求解(1.4.59-69) 195

7. 综合题(1.4.70-1.4.83) 203

8. 方程组理论的应用(1.4.84-1.4.103) 211

5 相似矩阵与二次型 220

1. 求方阵的特征值，特征向量及特征多项式(1.5.1-1.5.63) 223

问题与解答(1.5.1-1.5.220) 223

2. 矩阵的相似及对角比(1.5.64-1.5.101) 243

3. 正交阵与实对称阵的对角化(1.5.102-121) 261

4. 二次型的标准化，规范化及其秩，正、负惯性指数的确定(1.5.122-1.5.164) 273

5. 正是二次型、正定阵的判定及应用(1.5.165-1.5.220) 295

6 线性空间与线性变换 317

问题与解答(1.6.1-1.6.128) 320

1. 线性空间、线性相关性的判定(1.6.1-1.6.16) 320

2. 基和维数(1.6.17-1.6.25) 326

3. 子空间(1.6.26-1.6.52) 329

4. 坐标及坐标变换(1.6.53-1.6.66) 340

5. 线性空间的同构(1.6.67-1.6.71) 347

6. 线性变换(1.6.72-1.6.104) 348

7. 线性变换的矩阵(1.6.105-1.6.128) 358

第2章 概率论与数理统计 371

1 随机事件及其概率 371

问题与解答(2.1.1-2.1.151) 375

1. 事件的关系及运算(2.1.1-2.1.8) 375

2. 概率的古典定义，几何定义及基本性质(2.1.9-2.1.53) 377

3. 条件概率 乘法公式(2.1.54-2.1.67) 392

4. 全概公式与逆概(贝叶斯)公式(2.1.68-2.1.81) 396

5. n重贝努里试验，二项概率公式(2.1.82-2.1.94) 401

6. 综合题(2.1.95-2.1.151) 404

2 随机变量及其分布 418

问题与解答(2.2.1-2.2.94) 421

1. 离散型随机变量的分布(2.2.1-2.2.20) 421

2. 连续型随机变量的分布(2.2.21-2.2.55) 427

3. 一维随机变量函数的分布(2.2.56-2.2.69) 438

4. 综合问题(2.2.70-2.2.94) 444

3 多维随机变量及其分布 453

1. 二维离散型随机变量及其概率分布(2.3.1-2.3.6) 458

问题与解答(2.3.1-2.3.107) 458

2. 二维连续型随机变量及其概率分布(2.3.7-2.3.19) 461

3. 连缘分布(2.3.20-2.3.33) 467

4. 条件分布及随机变量的相互独立性(2.3.34-2.3.59) 474

5. 随机变量的函数的分布(2.3.60-2.3.79) 486

6. 综合题(2.3.80-2.3.107) 495

4 随机变量的数字特征 508

问题与解答(2.4.1-2.4.103) 511

1. 一维随机变量的数字特征(2.4.1-2.4.36) 511

2. 一维随机变量函数的数字特征(2.4.37-2.4.55) 524

3. 二维随机变量的数字特征(2.4.56-2.4.82) 531

4. 综合题(2.4.83-2.4.103) 541

5 大数定理与中心极限定理 551

问题与解答(2.5.1-2.5.25) 551

6 数理统计的基本概念 563

问题与解答(2.6.1-2.6.28) 565

7 参数估计 575

问题与解答(2.7.1-2.7.52) 580

8 假设检验 599

问题与解答(2.8.1-2.8.28) 602

9 方差分析 615

问题与解答(2.9.1-2.9.10) 618

10 回归分析 630

问题与解答(2.10.1-2.10.7) 633

第3章 复变函数 659

1 复数与复变函数 659

问题与解答(3.1.1-3.1.41) 660

2 解析函数 680

问题与解答(3.2.1-3.2.50) 681

3 复变函数的积分 710

问题与解答(3.3.1-3.3.57) 712

4 级数 742

问题与解答(3.4.1-3.4.40) 743

5 留数理论及其应用 767

问题与解答(3.5.1-3.5.36) 769

6 共形映射 788

第4章 积分变换 801

1 Fourier变换 801

问题与解答 (4.1.1-4.1.43) 805

2 Laplace变换 824

1. 常见的几个基本函数的拉氏变换(4.2.1-4.2.9) 828

问题与解答(4.2.1-4.2.110) 828

2. 证明有关定理和性质(4.2.10-4.2.18) 833

3. 利用拉氏变换性质，求函数的拉氏变换(4.2.19-4.2.55) 835

4. 求数的拉氏逆变换(4.2.56-4.2.80) 846

5. 拉氏变换的应用(4.2.81-4.2.110) 855

附录1 Fourier变换简表 872

附录2 Laplace变换简表 875

第5章 矢量分析与场论 881

1 矢量分析 881

问题与解答(5.1.1-5.1.25) 882

2 场论 889

问题与解答(5.2.1-5.2.69) 891

第6章 计算方法 915

1 误差与算法 915

问题与解答(6.1.1-6.1.10) 916

2 方程求根 920

问题与解答(6.2.1-6.2.14) 922

3 插值法 929

问题与解答(6.3.1-6.3.17) 932

4 数值积分 944

问题与解答(6.4.1-6.4.12) 946

5 常微分方程的数值解法 955

问题与解答(6.5.1-6.5.10) 958

6 线性方程组的直接解法 966

问题与解答(6.6.1-6.6.14) 969

7 范数和超定方程组的最小二乘解 977

问题与解答(6.7.1-6.7.16) 979

8 求解线性方程组的迭代解法 987

问题与解答(6.8.1-6.8.18) 988

第7章 数学物理方程 997

1 基本概念 分类与化简 997

1. 方程与定解条件推导(7.1.1-7.1.5) 999

问题与解答(7.1.1-7.1.8) 999

2. 分类与化简(7.1.6-7.1.8) 1002

2 行波法与积分变换法 1004

问题与解答(7.2.1-7.2.30) 1005

1. 行波法(7.2.1-7.2.5) 1005

2. 积分变换法(7.2.6-7.2.30) 1011

3 分离变量法 1033

问题与解答(7.3.1-7.3.47) 1033

第8章 变分法 1075

1 泛函和泛函的检值 1075

问题与解答(8.1.1-8.1.2) 1076

2 固定边界的变分问题 1078

问题与解答(8.2.1-8.2.14) 1081

3 变动边界的变分问题 1089

问题与解答(8.3.1-8.3.8) 1089

4 重积分的变分问题 1094

问题与解答(8.4.1-8.4.3) 1094

5 泛函的条件极值问题 1096

问题与解答(8.5.1-8.5.8) 1097

6 泛函极值的充分条件 1101

问题与解答(8.6.1-8.6.7) 1102