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目录 1

第三版序 1

第一版序 1

第Ⅰ讲　基本方程的推导 1

§1．奥斯脱洛格拉特斯基公式 1

§2．弦的振动方程 2

§3．膜的振动方程 4

§4．流体运动的连续性方程和拉普拉斯方程 6

§5．传热方程 8

§6．声波 11

第Ⅱ讲　数学物理问题的提出．阿达马例 15

§1．初值条件与边值条件 15

§2．解对于定解条件的依从性．阿达马例 18

第Ⅲ讲　二级线性方程的分类 23

§1．线性方程及二次型．方程的正则形 23

§2．两个自变数的方程的正则形 27

§3．两个自变数的双曲型方程的第二正则形 29

§4．特征面 30

第Ⅳ讲　弦的振动方程及其达朗倍尔解法 32

§1．达朗倍尔公式．无界弦 32

§2．两端固定的弦 34

§3．在非齐次方程和较普遍的边界条件下问题的解 36

第Ⅴ讲　黎曼方法 40

§1．双曲型方程的第一边界问题 40

§2．共轭微分算子 43

§3．黎曼方法 44

§4．共轭方程的黎曼函数 47

§5．黎曼公式的一些定性推论 49

第Ⅵ讲　重积分 50

§1．开点集与闭点集 50

§2．连续函数在开集上的积分 54

§3．连续函数在有界闭集上的积分 58

§4．可和函数 62

§5．单变数函数的不定积分．例 66

§6．可测集合．叶果洛夫定理 69

§7．可和函数的平均收敛性 74

§8．勒贝格-富比尼定理 81

第Ⅶ讲　含参变数的积分 84

§1．对参变数的已给值为一致收敛的积分 84

§2．瑕积分对参变数的微商 86

第Ⅷ讲　传热方程 89

§1．基本解 89

§2．郭西问题的解 93

第Ⅸ讲　拉普拉斯及泊松方程 98

§1．极大定理 98

§2．基本解．格林公式 99

§3．体位势，单层和双层位势 101

§1．算术中量定理 105

第Ⅹ讲　格林公式的某些一般推论 105

§2．调和函数在奇点附近的性质 107

§3 调和函数在无穷远处的性质．相互共轭点 111

第Ⅺ讲　无限介质内的泊松方程．牛顿位势 114

第Ⅻ讲　对球的狄里克莱问题的解 118

第ⅩⅢ讲　对半空间的狄里克莱和诺依曼问题 124

第ⅩⅣ讲　波动方程和推延位势 130

§1．波动方程的特征面 130

§2．郭西问题的克希霍夫解法 131

第ⅩⅤ讲　单层位势和双层位势的性质 141

§1．一般的说明 141

§2．双层位势的性质 142

§3．单层位势的性质 146

§4．正规法向微商 152

§5．双层位势的法向微商 153

§6．位势在无穷远处的性质 155

§1．问题的提出及其解的唯一性 156

第ⅩⅥ讲　化狄里克莱和诺依曼问题为积分方程 156

§2．所提问题的积分方程 158

第ⅩⅦ讲　平面上的拉普拉斯方程和泊松方程 160

§1．基本解 160

§2．基本问题 161

§3．对数位势 164

第ⅩⅧ讲　积分方程论 167

§1．一般的说明 167

§2．逐次逼近法 168

§3．伏泰拉方程 171

§4．有退化核的积分方程 171

§5．特殊形的核．富莱霍姆定理 175

§6．结果的推广 179

§7．有特殊形无界核的方程 181

第ⅪⅩ讲　富莱霍姆理论在解狄里克莱和诺依曼问题上的应用 183

§1．积分方程一些性质的推导 183

§2．方程的研究 185

第ⅩⅩ讲　格林函数 188

§1．一个自变数的微分算子 188

§2．共轭算子和共轭族 190

§3．关于共轭方程的积分的基本引理 193

§4．影响函数 195

§5．格林函数的定义和作法 197

§6．二级线性方程的广义格林函数 200

§2．母函数 202

§7．例 203

第ⅩⅪ讲　拉普拉斯算子的格林函数 207

§1．狄里克莱问题的格林函数 207

§2．诺依曼问题的格林函数的概念 211

第ⅩⅫ讲　数学物理边值问题提法的适定性 215

§1．传热方程 215

§2．广义解的概念 217

§3．波动方程 220

§4．波动方程的广义解 223

§5．齐次方程广义解的性质 228

§6．布尼亚珂夫斯基及明考夫斯基不等式 231

§7．里斯-费雪定理 232

第ⅩⅩⅢ讲　富理叶方法 235

§1．分离变数法 235

§2．连续介质的振动问题及有限自由度力学系统的振动问题之间的类比 240

§3．非齐次方程 242

§4．具有自由两端的梁的从振动 244

第ⅩⅩⅣ讲　具有实对称核的积分方程 247

§1．简单性质．完全连续算子 247

§2．特征值存在的证明 256

第ⅩⅩⅤ讲　双线公式和赫伯特-斯米特定理 258

§1．双线公式 258

§2．赫伯特-斯米特定理 264

§3．数学物理边值问题富理叶解法的基础 266

§4．对称核积分方程理论的应用 271

第ⅩⅩⅥ讲　有对称核的非齐次积分方程 273

§1．豫解式的展开 273

§2．用解析函数表示问题的解 274

第ⅩⅩⅦ讲　正平行六面体的振动 277

第ⅩⅩⅧ讲　曲线坐标下的拉普拉斯方程．应用富理叶方法的例 281

§1．曲线坐标下的拉普拉斯方程 281

§2．贝瑟函数 285

§3．在极坐标中方程？u＝0的完全分离变数 287

第ⅩⅪⅩ讲　调和多项式及球函数 291

§1．球函数的定义 291

§2．利用球函数的近似 294

§3．球的狄里克莱问题 296

§4．球函数的微分方程 296

第ⅩⅩⅩ讲　球函数的某些简单性质 301

§1．勒勤特多项式的表示 301

§3．拉普拉斯公式 304