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目录 1

第一章　线性空间与线性变换 1

§1.1　线性空间 1

（一）线性空间 1

（二）基、维数与坐标 3

（三）基变换与坐标变换 4

§1.2　线性变换 5

（一）线性变换 5

（二）线性变换的矩阵表示 7

§1.3　欧几里德（Euclide）空间 10

（一）欧氏空间 10

（二）标准正交基 12

（三）正交变换 14

§1.4　酉空间 17

习题一 19

第二章　矩阵的标准形 23

§2.1　多项式矩阵 23

（一）多项式矩阵 23

（二）λ-矩阵的史密斯（Smith）标准形 25

（三）行列式因子、不变因子、初等因子 26

（四）特征矩阵 31

§2.2　矩阵的约旦（Jordan）标准形与有理标准形 33

（一）相似矩阵 33

（二）矩阵的约旦标准形 34

（三）把A化成J的相似变换矩阵P 39

（四）有理标准形 40

（五）规范矩阵的标准形 43

（一）以数字为系数的矩阵多项式 44

§2.3　矩阵的最小多项式 44

（二）哈密顿-凯莱（Hamilton-Cayley）定理 45

（三）最小多项式 46

（四）最小多项式的求法 48

（五）与对角矩阵相似的条件 50

习题二 51

第三章　矩阵分析 55

§3.1　向量的范数 55

（一）方阵的范数 60

（二）弗罗比尼乌斯（Frobenius）范数 60

§3.2　方阵的范数 60

（三）算子范数 62

§3.3　向量和矩阵的极限 67

（一）向量的极限 67

（二）矩阵序列的极限 68

§3.4　函数矩阵的微分与积分 70

（一）函数矩阵的微分和积分 71

（二）纯量函数关于矩阵的微分 75

（三）向量函数关于向量的微分 78

§3.5　方阵的幂级数 79

（一）方阵的级数 79

（二）方阵的幂级数 80

（三）谱半径的估计 83

§3.6　方阵函数 84

（一）常见的方阵函数 84

（二）方阵函数的计算 85

（三）方阵函数的性质 98

（四）方阵函数的多项式表示 101

（一）常系数线性齐次微分方程组 104

§3.7　矩阵分析在微分方程组中的应用 104

（二）常系数线性非齐次微分方程组 107

（三）状态转移矩阵 109

习题三 112

第四章　广义逆矩阵 117

§4.1　广义逆矩阵的概念 117

§4.2　广义逆矩阵A- 119

（一）矩阵的满秩分解 119

（二）矩阵的左逆和右逆 123

（三）广义逆矩阵A的计算法 125

（四）广义逆矩阵A-的性质 127

§4.3　广义逆矩阵A+ 128

（一）广义逆矩阵A+存在唯一性定理及性质 128

（二）广义逆矩阵A+的计算方法 130

§4.4　广义逆矩阵在解线性方程组的应用 135

（一）相容方程组的一般解 135

（二）相容线性方程组的最小范数解 136

（三）不相容方程组的最小二乘解 139

习题四 142

习题答案 144

参考文献 154