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1 绪论 1

1.1 概念 1

1.2 三类典型方程的导出 3

1.3 偏微分方程定解问题的提法和适定性问题 9

1.3.1 定解问题的提法 9

1.3.2 适定性问题 15

1.4 叠加原理 17

1.5 二阶线性偏微分方程的分类和化简 19

1.5.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简 19

1.5.2 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 29

习题1 31

2 波动方程的初值问题与行波法 35

2.1 一维波动方程的初值(柯西)问题 35

2.1.1 达朗贝尔(D Alembert)公式 35

2.1.2 波的传播、依赖区间、决定区域和影响区域 36

2.1.3 无界弦的受迫振动和齐次化原理 39

2.1.4 半无界弦的振动问题 41

2.2 三维波动方程的初值问题和球面波 44

2.2.2 三维波动方程的泊松(Poisson)公式 45

2.2.1 三维波动方程的球对称解 45

2.2.3 泊松公式的物理意义 48

2.2.4 非齐次方程的初值问题和推迟势 49

2.3 二维波动方程的初值问题和降维法 50

2.4 依赖区域、决定区域、影响区域和特征锥 53

习题2 55

3 分离变量法 59

3.1 预备知识 59

3.1.1 分段连续函数和分段光滑函数 59

3.1.2 偶函数和奇函数，偶延拓和奇延拓 60

3.1.3 周期函数 61

3.1.4 正交函数系和傅里叶级数展开 62

3.2 齐次方程和齐次边界条件的定解问题 70

3.2.1 波动方程的初边值问题 71

3.2.2 热传导方程的初边值问题 81

3.2.3 圆域内拉普拉斯(Laplace)方程的边值问题 84

3.3 非齐次方程的定解问题 86

3.4 非齐次边界条件的处理 92

3.5 Sturm-Liouville问题 97

习题3 101

4.1 Laplace方程定解问题的提法 106

4 调和方程与格林(Green)函数法 106

4.2 Green公式和应用 107

4.2.1 Green公式 107

4.2.2 调和方程的基本解和解的积分表达式 109

4.3 Green函数的性质 111

4.4 一些特殊区域上的Green函数和Dirichlet问题的解 115

习题4 121

5.1 傅里叶积分和傅里叶变换 123

5 积分变换法 123

5.2 傅里叶变换的性质 128

5.3 傅里叶变换应用举例 131

5.4 拉普拉斯变换与性质 135

5.5 拉普拉斯变换应用举例 140

习题5 143

6 极值原理和应用 146

6.1 热传导方程的极值原理与应用 146

6.2 拉普拉斯方程的极值原理与应用 153

习题6 155

7 能量积分方法和应用 157

7.1 热传导方程和调和方程中的能量方法与应用 157

7.2 波动方程中的能量方法与应用 159

7.3 初值问题解的唯一性和稳定性 164

习题7 168

8 贝塞尔函数和勒让德函数及其应用 170

8.1 贝塞尔方程与贝塞尔函数 170

8.1.1 贝塞尔方程及其求解 170

8.1.2 贝塞尔函数的递推公式及性质 175

8.2 贝塞尔函数应用举例 185

8.3 勒让德方程与勒让德函数 195

8.3.1 勒让德方程及其求解 195

8.3.2 勒让德函数及其性质 199

8.4 勒让德多项式应用举例 210

习题8 215

部分习题提示与答案 218

附录Ⅰ 傅里叶积分变换表 229

附录Ⅱ 拉普拉斯积分变换表 231

参考文献 234