考研数学 数学四 常考题型及其解题方法技巧归纳PDF电子书下载

前言 1

第一篇 微积分 1

第一章　函数 1

§1.1.1 求几类函数的表达式 1

题型一 求反函数的表达式 1

目录 1

题型二 求分段函数的复合函数 2

题型三 利用函数概念求两类函数表达式 4

§1.1.2 判别（证明）几类函数的奇偶性 5

题型一 判别经四则运算后的函数的奇偶性 5

题型三 判别复合函数的奇偶性 6

题型二 判别自变量带相反符号的两同名函数的代数和的奇偶性 6

题型四 判别原函数F(x)=？f(t)dt的奇偶性 7

§1.1.3 奇、偶函数的几个性质的应用 8

习题1.1 9

第二章 极限、连续 12

§1.2.1 极限的概念与基本性质 12

题型一 正确理解极限定义中的“ε,N”、“ε,δ”、“ε,X”语言的含义 12

题型二 正确区别无穷大与无界量 12

题型三 正确运用极限的保序性、保号性 14

题型四 正确运用极限的四则运算法则、无穷大运算法则及夹逼准则 14

题型一 求？型或？型极限 16

§1.2.2 求未定型函数极限 16

题型二 求0·∞型极限 19

题型三 求∞－∞型极限 20

题型四 求幂指函数型（00型，∞0型，1∞型）极限 20

题型五 求含变限积分的未定型极限 24

题型六 求与增量比（差商）有关的极限 26

§1.2.3 求数列极限 28

题型一 求无穷多项和的极限 30

题型二 求无穷多项积的极限 31

题型三 求由递推关系式给出的数列的极限 32

题型一 求含？/x型的极限 33

§1.2.4 求几类子函数形式特殊的函数极限 33

题型二 求含根式差的函数极限 35

题型三 求含指数函数差的函数极限 35

题型四 求含极限不存在但有界的因式的函数极限 35

§1.2.5 已知含未知函数的一（些）极限，求与该函数有关的函数极限 36

§1.2.6 求极限式中待定常数 37

题型一 求有理函数极限式中的待定常数 37

题型二 确定分式函数极限式中的参数 38

题型三 求∞±∞型的根式极限式中的待定常数 39

题型四 求含变项积分的极限式中的待定常数 40

§1.2.7 比较和确定无穷小的阶 40

题型一 比较无穷小的阶 42

题型二 确定无穷小为几阶无穷小 43

§1.2.8 讨论函数的连续性及间断点的类型 44

题型三 利用无穷小阶的比较求待定常数 44

题型一 判断初等函数的连续性 45

题型二 讨论非初等函数的连续性 46

题型三 判断函数间断点的类型 48

§1.2.9 根据函数在某点（或某区间）连续（可导）确定待定常数 50

题型一 根据函数在某点（或某区间）连续确定待定常数 50

题型二 根据函数在某点（或某区间）可导确定待定常数 51

§1.2.10 可用闭区间上连续函数性质证明的几类中值命题 52

题型一 证明存在？∈（a,b），使f(？)=k（k为常数） 53

题型二 已知函数的取值情况，证明中值等式 54

题型一 计算连续复利 55

§1.2.11 极限在经济活动分析中的应用 55

题型二 求解贴现问题 56

题型三 计算生产函数的极限 57

习题1.2 57

第三章 一元函数微分学 61

§1.3.1 一元函数的可微性 61

题型一 讨论函数在某点的可导性 61

题型二 讨论抽象函数在某点的可导性 63

题型三 用导数定义求某些分式函数的极限 65

§1.3.2 讨论分段函数的可导性及导函数的连续性 65

题型一 讨论分段函数的可导性 65

题型二 讨论分段函数的导函数的连续性 66

题型一 讨论含因子｜x-a｜的函数的可导性 68

§1.3.3 讨论含绝对值的函数的可导性 68

题型二 讨论含绝对值函数｜f（x）｜的函数的可导性 69

§1.3.4 求一元函数的导数和微分 71

题型一 求复合函数的导数 71

题型二 求反函数的导数 72

题型三 求显函数的导数 73

题型四 求隐函数的导数 73

题型五 求分段函数的导数 75

题型六 求幂指函数f(x)g（z）的导数 76

题型七 求某些简单函数的高阶导数 77

题型八 求一元函数的微分 80

题型一 证明存在？∈（a,b），使g(？)f′(？)+h(？)f(？)=0 81

§1.3.5 利用罗尔定理证明中值等式命题 81

题型二 证明存在？∈（a,b），使g(？)f′(？)+h(？)f(？)=Q(？) 83

题型三 证明存在？∈（a,b），使G(？)=0 84

题型四 证明题设中有定积分等式的中值等式 85

题型五 证明存在？∈（a,b），使F(k)(？)=0(k≥2) 87

题型六 改变（一般缩小）使用罗尔定理区间，证明中值等式 88

题型七 证明两个中值所满足的中值等式 89

§1.3.6 证明与区间端点函数值有关的中值命题 90

§1.3.7 利用导数讨论函数性态 92

题型一 证明函数在区间Ⅰ上是一个常数 92

题型二 证明（判别）函数的单调性 93

题型三 利用极限式讨论函数是否取得极值 95

题型四 求函数的单调区间、极值、最值 97

题型五 求曲线凹凸区间与拐点 101

题型六 求曲线的渐近线 103

题型七 利用函数性态作函数图形 105

§1.3.8 讨论方程根的个数 108

题型一 讨论不含参数的方程根的个数 108

题型二 讨论含参数的方程根的个数 110

§1.3.9 利用导数证明不等式 112

题型一 证明含或可化为函数改变量的不等式 112

题型二 利用函数单调增加证明不等式命题 112

题型三 利用函数单调减少证明不等式命题 114

题型四 利用函数的最值证明不等式命题 115

题型一 求曲线的切线方程和法线方程 117

§1.3.10 导数几何意义的应用 117

题型二 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题 118

题型三 求解与两曲线相切的有关问题 120

§1.3.11 导数在经济活动分析中的应用 120

题型一 计算弹性 122

题型二 计算边际函数 123

题型三 求解与边际和弹性有关的应用题 124

题型四 求解经济应用中一元函数的最值问题 125

习题1.3 127

第四章 一元函数积分学 131

§1.4.1 原函数与不定积分的关系 131

题型一 已知某函数，求其原函数 131

题型三 已知某函数的原函数，求该函数的有关函数的不定积分 134

题型二 已知某函数的一个原函数，求该函数 134

题型四 已知f（x）的一个原函数，求？xkf(l)(x)dx 135

§1.4.2 计算不定积分 136

题型一 计算被积函数仅是一个（或一类）函数的不定积分 136

题型二 计算？f(x)g(x)dx 137

题型三 计算简单无理函数的不定积分 138

题型四 求？f(x)dx 141

题型五 求？dx 142

题型六 简化计算有理真分式的不定积分 144

题型七 求三角函数的不定积分 146

题型一 利用其几何意义计算定积分 147

题型二 计算对称区间上的定积分 147

§1.4.3 利用定积分性质计算定积分 147

题型三 计算周期函数的定积分 148

题型四 比较和估计定积分的大小 149

题型五 求解含定积分的函数方程 151

题型六 计算几类须分子区间积分的定积分 152

题型七 计算含参数的定积分 155

题型八 计算几类需换元计算的定积分 156

题型九 计算被积函数含抽象函数导数的定积分 157

§1.4.4 求解与变限积分有关的问题 158

题型一 求变限积分的导数 158

题型二 求变限积分的定积分 159

题型三 讨论变限积分函数的性态 160

题型四 由变限积分所满足的函数方程，求未知函数或其积分值 164

§1.4.5 证明定积分等式 166

题型一 证明定积分的变换公式 166

题型二 证明定积分中值等式 168

§1.4.6 证明定积分不等式 169

§1.4.7 计算广义积分 172

题型一 计算无穷区间上的广义积分 172

题型二 判别？∞？与？∞？（a>0）的敛散性 175

题型三 计算无界函数的广义积分 175

题型四 判别？与？的敛散性 177

§1.4.8 定积分的应用 178

题型一 求曲边梯形的面积及其绕坐标轴旋转的体积 178

题型二 计算非曲边梯形的面积及其绕坐标轴旋转的体积 181

题型三 由面积或旋转体体积满足的条件求参数值 184

题型四 由某曲线所围图形的面积或其旋转体体积反求该曲线 188

题型五 求函数在区间上的平均值 188

题型六 由变化率求原经济函数或其变动值 189

题型七 由边际函数求（最优）总函数 190

习题1.4 191

第五章 多元函数微积分学 196

§1.5.1 二（多）元函数微分学中的几个概念 196

§1.5.2 计算偏导数与全微分 199

题型一 计算显函数的偏导数 199

题型二 求带函数记号的复合函数偏导数 201

题型三 计算由一个方程确定的隐函数的导数 204

题型四 求由方程组确定的隐函数的导数 206

题型五 求二元函数的全微分 208

§1.5.3 多元函数微分学的应用 210

题型一 求（证明）二元函数及其偏导数满足的方程 210

题型二 求闭域上连续的二元函数的最值 210

题型三 求解经济应用中的（无）条件最（极）值问题 212

§1.5.4 交换二次积分次序与转换二次积分 216

题型一 交换二（累）次积分的积分次序 216

题型二 转换二次积分 218

§1.5.5 用直角坐标系计算二重积分 219

题型一 根据积分区域选择积分次序计算二重积分 219

题型二 根据被积函数选择积分次序计算二重积分 221

题型三 利用奇偶性和对称性计算二重积分 222

题型四 分块计算二重积分 225

题型五 计算无界区域上较简单的二重积分 227

§1.5.6 用极坐标系计算二重积分 230

题型一 计算圆域x2+y2≤a（a>0）上的二重积分 230

题型二 计算圆域x2+y2≤2ax（a>0）上的二重积分 231

题型三 计算圆域x2+y2≤-2ax（a>0）上的二重积分 232

题型四 计算圆域x2+y2≤2byby（b>0）上的二重积分 233

题型五 计算圆域x2+y2≤-2by（b>0）上的二重积分 235

题型六 计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c（a,b>0）上的二重积分 236

习题1.5 238

第六章 常微分方程 241

题型一 求解变量可分离的一阶线性微分方程 242

§1.6.1 求解三类一阶线性微分方程 242

题型二 求解一阶齐次微分方程y′=f（y/x） 243

题型三 求解一阶线性非齐次方程 245

题型四 求解以x为因变量，y为自变量的一阶线性方程 248

§1.6.2 常微分方程的简单应用 249

题型一 求解未知函数出现在变限积分中的函数方程 249

题型二 求解未知函数出现在二重积分中的函数方程 250

题型三 求解满足一定条件的函数方程 250

题型四 求解与几何量有关的问题 251

题型五 求解简单的经济应用题 252

习题1.6 253

§2.1.1 计算具体行列式 255

题型一 计算非零元素（主要）在一条或两条对角线上的行列式 255

第一章 计算行列式 255

第二篇 线性代数 255

题型二 计算非零元素在三条线上的行列式 257

题型三 计算行（列）和相等的行列式 260

题型四 求代数余子式之和的值 261

§2.1.2 计算抽象矩阵的行列式 264

题型一 求由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值 265

题型二 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 267

题型三 计算含零子块的四分块矩阵的行列式 268

题型四 利用特征值计算矩阵行列式 269

习题2.1 270

题型二 已知cAB+aA+bB+dE=O，证明A+eE（或B+eE）的可逆性，其中a,b,c,d,e为常数 272

题型一 证明矩阵A可逆，且A-1=B 272

第二章 矩阵 272

§2.2.1 证明矩阵的可逆性 272

题型三 证明和（差）矩阵的可逆性 274

§2.2.2 矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法 275

§2.2.3 求解矩阵方程 279

题型一 求解只含一个未知矩阵的矩阵方程 279

题型二 求解含多个未知矩阵的矩阵方程 280

题型三 求解AX=B或XA=B，其中A为不可逆矩阵 282

§2.2.4 计算n阶矩阵方幂的方法 283

§2.2.5 求矩阵的秩 288

题型一 求元素具体给定的矩阵的秩 288

题型二 求抽象矩阵的秩 289

题型一 用初等矩阵表示相应的初等变换 292

§2.2.6 初等变换及其应用 292

题型二 利用初等矩阵的性质计算矩阵 294

§2.2.7 分块矩阵的乘法运算 295

§2.2.8 证明一些特殊矩阵运算后所得矩阵的性质 297

习题2.2 299

第三章 向量 302

§2.3.1 判定向量组线性相关、线性无关 302

题型一 用线性相关性定义做选择题、填空题 302

题型二 判定分量已知的向量组的线性相关性 304

题型三 证明两类向量组的线性相关性 306

题型一 判定分量已知的向量能否由向量组线性表出 311

§2.3.2 判定向量能否由向量组线性表出 311

题型二 判断一抽象向量能否由向量组线性表出 313

§2.3.3 求向量组的秩与极大线性无关组 314

题型一 求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组 315

题型二 将向量用极大线性无关组线性表出 316

题型三 证明两向量组的秩的关系 318

§2.3.4 证明两向量组等价 320

§2.3.5 将线性无关向量组正交规范化 322

习题2.3 323

§2.4.1 判定线性方程组解的情况 325

题型一 齐次线性方程组解的判定 325

第四章 线性方程组 325

题型二 非齐次线性方程组解的判定 327

§2.4.2 由其解反求方程组的参数或其系数矩阵 331

题型一 已知AX=0的解的情况，反求A中参数 331

题型二 已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数 332

题型三 由方程组解的情况确定其系数矩阵 333

§2.4.3 证明一组向量为基础解系的常用方法 334

§2.4.4 基础解系和特解的简便求法 335

§2.4.5 求解含参数的线性方程组 337

题型一 求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组 337

题型二 求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组 339

题型三 求解参数仅出现在常数项的线性方程组 340

题型一 A没有具体给出，求AX=0的通解 341

§2.4.6 求抽象线性方程组的通解 341

题型二 已知AX=b的特解，求其通解 342

题型三 已知A的列向量的线性关系式，求AX=b的通解 344

§2.4.7 求两线性方程的非零公共解 345

题型一 已知两线性方程组，求其参数使其有非零公共解 345

题型二 已知一方程组与另一方程组的通解，求其参数使其有非零公共解 346

习题2.4 349

第五章 矩阵的特征值、特征向量 352

§2.5.1 求矩阵的特征值、特征向量 352

题型一 求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量 352

题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量 355

题型一 由特征值和（或）特征向量反求矩阵中的参数 358

§2.5.2 由特征值和（或）特征向量反求矩阵或矩阵中的参数 358

题型二 已知特征值、特征向量反求矩阵 361

§2.5.3 已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关矩阵的特征值、特征向量 362

§2.5.4 判别矩阵能否相似对角化 364

题型一 判别元素给定的矩阵能否对角化 364

题型二 判别抽象矩阵能否对角化 366

§2.5.5 相似矩阵性质的简单应用 367

题型一 判定两矩阵是否相似 368

题型二 计算相似矩阵的特征值 368

题型三 计算相似矩阵的行列式 368

题型四 求相似矩阵的秩 369

题型五 确定相似矩阵中的参数 369

题型一 矩阵A可相似对角化，求A中参数及可逆阵P，使 P-1 AP=diag(λ1，λ2，…，λn) 370

§2.5.6 将矩阵化为相似对角矩阵的计算 370

题型二 A为实对称矩阵，求A中参数及正交矩阵Q，使 Q-1 AQ=QTAQ=diag（λ1，λ2，…，λn） 373

习题2.5 375

第三篇 概率论 377

第一章 随机事件和概率 377

§3.1.1 随机事件间的关系及运算 377

题型一 描绘随机试验的样本空间 377

题型二 用式子表示事件关系及其运算 378

题型三 利用事件运算的性质简化事件算式 378

题型四 求满足一定条件的事件关系 379

§3.1.2 直接计算随机事件的概率 380

题型一 计算古典型概率 380

题型二 计算几何型概率 383

题型三 计算伯努利概型中事件的概率 385

§3.1.3 间接计算随机事件的概率 386

题型一 计算和事件的概率 386

题型二 计算差事件的概率 387

题型三 计算积事件的概率 387

题型四 求与包含关系有关的事件的概率 388

题型五 求与条件概率有关的事件的概率 388

题型六 求与他事件有关的单个事件的概率 389

题型七 判别或证明事件概率不等式 390

§3.1.4 几个计算概率公式的实际应用 391

题型一 用加法公式求解实际应用题 391

题型二 用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题 392

题型三 用全概公式和逆概（贝叶斯）公式求解实际应用题 393

题型四 利用抽签原理计算事件概率 395

§3.1.5 事件独立性的判别方法 396

习题3.1 398

第二章 一维随机变量及其分布 401

§3.2.1 分布列、概率密度及分布函数性质的应用 401

题型一 判别分布列、概率密度及分布函数 402

题型二 已知随机变量的分布，确定有关参数或所满足的条件 403

§3.2.2 求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数 405

题型一 求概率分布（分布律）及其分布函数 405

题型二 求连续型随机变量的分布函数 408

题型三 求概率密度 409

§3.2.3 利用常见分布计算事件的概率 410

题型一 利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率 410

题型二 利用泊松分布计算事件的概率 412

题型三 利用均匀分布计算事件的概率 413

题型四 利用指数分布计算事件的概率 414

题型五 利用正态分布计算事件的概率 417

§3.2.4 求随机变量函数的分布 421

题型一 求离散型随机变量函数的概率分布 421

题型二 求连续型随机变量函数的分布 422

习题3.2 425

§3.3.1 求二维随机变量的分布 428

题型一 求二维离散型随机变量的联合概率分布（联合分布律） 428

第三章 二维随机变量的联合概率分布 428

题型二 求二维随机变量的边缘分布 432

题型三 由联合分布、边缘分布求条件分布 434

题型四 由条件分布反求联合分布、边缘分布 439

题型五 已知分区域定义的联合密度，求其分布函数 440

§3.3.2 判别随机变量的独立性 441

题型一 判别两离散型随机变量的独立性 441

题型二 判别两连续型随机变量的独立性 443

§3.3.3 计算二维随机变量取值的概率 449

题型一 求二维离散型随机变量在某范围内取值的概率 449

题型二 求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率 449

题型三 求与max（X,Y）或（和）min（X,Y）有关的概率 451

题型四 求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率 452

题型五 已知系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率，反求该随机变量的分布 454

§3.3.4 求二维随机变量函数的分布 454

题型一 已知（X,Y）的联合分布律，求Z=g（X,Y）的分布律 454

题型二 已知（X,Y）的概率密度，求其和、差、积、商的分布 456

题型三 已知X,Y的分布求max（X,Y）与min（X,Y）的分布 459

习题3.3 463

第四章 随机变量的数字特征 465

§3.4.1 求一维随机变量的数字特征 465

题型一 求随机变量的数学期望与方差 465

题型二 求随机变量函数的数学期望 471

题型三 计算随机变量的矩 475

题型一 已知（X,Y）的联合密度（或联合分布律），求EX、EY、DX、DY 476

§3.4.2 求二维随机变量的数字特征 476

题型二 求（X,Y）的函数g（X,Y）的数学期望和方差 478

题型三 计算协方差和相关系数 480

§3.4.3 计算两类分布的数字特征 484

题型一 计算正态分布的数字特征 484

题型二 计算Z=max（X,Y）或（和）W=min（X,Y）的数字特征 487

§3.4.4 讨论随机变量相关性与独立性的关系 489

题型一 确定两随机变量相关与不相关 489

题型二 讨论相关性与独立性的关系 490

§3.4.5 求解两类综合应用题型 492

题型一 求解涉及随机变量分布、期望和方差的实际应用题 492

题型二 求解涉及概率论与其他数学分支间的知识点的综合应用题 495

习题3.4 497

第五章 中心极限定理 500

§3.5.1 用切比雪夫不等式估计事件的概率 500

§3.5.2 棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理的应用 502

题型一 近似计算有关随机事件的概率 503

题型二 已知随机变量在某范围内取值的概率，估计该范围 504

§3.5.3 列维－林德伯格中心极限定理的应用 505

题型一 应用列维－林德伯格中心极限定理之条件、结论解题 506

题型二 近似计算n个随机变量之和取值的概率 507

题型三 已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n 508

习题3.5 509

习题答案与提示 510