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目录 1

前言 1

第一章　数的发展 1

§1 从有理数到无理数 1

§2 关于π 3

§3 从正数到负数 7

§4 从实数到虚数 9

§5　从复数到超复数 13

§6　从有穷数到超穷数 15

§7　从实数到超实数 18

§8 从数到非数 19

§9 综述 20

第二章　数学的推理方法 22

§1 归纳推理 22

§2 费尔玛猜想 26

§3 数学归纳法 27

§4 数学是成熟最早的自然科学 30

§5 数学归纳法的再分析 31

§6 归纳与演绎的关系 34

§1 公理化方法简介 38

第三章　公理化方法 38

§2 欧氏几何公理体系的来龙去脉 41

§3 对“第五公设”的思索最久、最多 45

§4 非欧几何诞生 49

§5 公理化方法的严格要求 52

§6 关于公理系统的相容性、独立性、完备性 54

第四章　数学的抽象性问题 56

§1 抽象性并非数学所独有 56

§2 数学抽象的特殊性 57

§3 数学抽象是一个历史过程 59

§4 数学抽象的基本方法 69

§5 数学抽象的意义 76

§6 数学抽象与实践 79

第五章 数学中的猜想——兼论创造思维问题 82

§1 数学猜想的来源 82

§2 数学猜想的前途 88

§3 数学猜想的作用 89

§4 关于归纳、类比、直观的再分析 92

§5 两种不同的猜想 105

§6 试论创造思维的若干问题 108

§1 变形法 120

第六章　化归法 120

§2 典型化方法 129

§3 逐步逼近法 134

§4 MRI方法 141

第七章　模型方法 151

§1 从哥尼斯堡七桥问题谈起 151

§2 模型方法概述 154

§3 数学模型的分类 156

§4 数学模型的构造 162

§5 数学自身的模型方法 165

第八章　无限与悖论 168

§1 数学是“无限的科学” 168

§2 无限与数学危机 170

§3 无限与悖论 174

§4 潜无限与实无限 177

§5 怎样认识无限 179

§6 关于有限数学 187

第九章　ZFC系统的建立 189

§1 集合论悖论与语义学悖论 189

§2 悖论的性质 193

§3 ZFC系统的建立 196

§4 关于数学基础的三大流派 202

§5 数学是什么 210

第十章　数学与美学 213

§1 引人注目的历史现象 213

§2 数学家论数学美 215

§3 美的数学 218

§4 数学的美 223

§5 数学美的意义 239

第十一章　数学与数学家 242

§1 数学家与社会 242

§2 数学家的身世 244

§3 数学家的品德 248

§4 数学家的艰辛 251

§5 三位女数学家 255

§6 数学家的闪失 261

第十二章　关于数学符号 265

§1 从零的符号说起 265

§2 符号的分类 267

§3 符号的发展、变化 269

§4 数学符号的积极意义 272

参考书目 276