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目录 1

第一章 引论 1

1.1 概率论的对象 1

1.2 简短的历史 7

第二章 概率论的基本概念 13

2.1 事件，事件的概率 13

2.2 概率的直接计算 14

2.3 事件的频率或事件的统计概率 18

2.4 随机变量 22

2.5 实际不可能和实际必然事件，实际推断原理 24

第三章 概率论的基本定理 27

3.1 基本定理的应用，事件的和与积 27

3.2 概率的加法定理 31

3.4 全概率公式 46

3.5 理想事件定理（巴叶斯公式） 49

第四章 重复实验 53

4.1 重复实验的特殊定理 53

4.2 重复实验的一般定理 55

第五章 随机变量和分布律 62

5.1 分布列，分布多边形 62

5.2 分布函数 67

5.4 分布密度 75

5.3 随机变量落在给定区间上的概率 78

5.5 随机变量的数字特征，它们的作用和用途 81

5.6 位置特征（数学期望，众数，中位数） 82

3.3 概率的乘法定理 87

5.7 矩，方差，均方差 89

5.8 均匀密度律 101

5.9 波阿松律 104

6.1 正态分布律及其参数 111

第六章 正态分布律 111

6.2 正态分布律的矩 115

6.3 服从正态分布律的随机变量落在给定区间上的概率，拉普拉斯函数 117

16.3 由典型分解给出的随机函数的线性变换 119

6.4 概率偏差，简化的拉普拉斯函数 120

第七章 用实验数据来确定随机变量的分布律 127

7.1 数理统计的基本问题 127

7.2 简单的统计集，统计分布函数 129

7.8 统计表，直方图 132

7.4 统计分布的数字特征 135

7.5 统计表的修匀 138

7.6 适度的准则 145

第八章 随机变量系 155

8.1 随机变量系的概念 155

8.2 二维随机变量系的分布函数 156

8.3 二维随机变量系的分布密度 160

8.4 系中个别量的分布律，条件分布律 165

8.5 相关随机变量和独立随机变量 168

8.6 两个随机变量所成的系的数字特征，相关短，相关系数 172

8.7 任意多个随机变量所成的系 179

8.8 随机变量系的数字特征 182

第九章 多维随机变量的正态分布律 185

9.1 平面上的正态分布律 185

9.2 扩散椭圆，正态分布律的标准形式 190

9.3 落在边平行于扩散主轴的长方形上的概率 193

9.4 落在扩散椭圆上的概率 196

9.5 击中任意形状的目标的概率 199

9.6 空间的正态分布律 203

第十章 随机变量的函数的数字特征 208

10.1 函数的数学期望，函数的方差 208

10.2 关于数字特征的定理 217

10.8 数字特征定理的应用 229

第十—章 函数的线性化 251

11.1 随机变量函数的线性化法 251

11.2 一个随机变量的函数的线性化 252

11.3 多个随机变量的函数的线性化 254

11.4 线性化法的精确化 259

笫十二章随机变量函数的分布律 263

12.1 一个随机变量的单调函数的分布律 263

12.2 正态分布变量的线性函数的分布律 266

12.3 一个随机变量的非单调函数的分布律 267

12.4 两个随机变量函数的分布律 270

12.5 两个随机变量和的分布律，分布律的卷积 272

12.6 正态律的卷积 277

12.7 具有正态分布的随机变量的线性函数 281

12.8 平面上正态律的卷积 282

第十三章 概率论的极限定理 289

13.1 大数法则及中心极限定理 289

13.2 切贝舍夫不等式 290

13.3 大数法则（切贝舍夫定理） 293

13.4 拓广的切贝舍夫定理，马尔柯夫定理 296

13.5 大数法则的推论：贝努利定理和波阿松定理 299

13.6 大量随机现象和中心极限定理 301

13.7 特征函数 303

13.8 用随机变量的特征函数来表示它的分布密度 305

13.9 李雅普诺夫不等式 308

13.1 0李雅普诺夫定理 310

13.1 1李雅普诺夫定理的公式表示及其实际应用，拉普拉斯定理 316

第十四章 实验的处理 323

14.1 在观察次数有限时实验处理的特殊性，随机变量数字特征之估计 323

14.2 置信限和置信概率 327

14.3 随机变量系的数字特征的估计 333

14.4 射击的处理 343

14.5 在最小二乘法的意义下实验相关的光滑化 348

第十五章 随机函数理论的基本概念 372

15.1 随机函数的概念 372

15.2 随机函数的概念作为随机变量系概念的推广，随机函数的分布律 376

15.3 随机函数的特征 379

15.4 由实验来确定随机函数的特征 386

15.5 由原来的随机函数特征确定变换后的随机函数特征的方法 388

15.6 线性和非线性运算子，动力学系统运算子 390

15.7 随机函数的线性变换 396

15.8 随机函数的和 403

15.9 复随机函数 406

16.1 典型分解方法的概念，把随机函数表示成基本随机函数之和 411

第十六章 随机函数的典型分解 411

16.2 随机函数的典型分解 416

16.4 随机函数典型分解的实际方法 424

第十七章 平稳随机函数 433

17.1 平稳随机过程的概念 433

17.2 在有限时间区间上平稳随机函数的谱展式，方差谱 442

17.3 在无限时间区间上平稳随机函数的谱展式，平稳随机函数的谱密度 446

17.4 复数形式的随机函数谱分解 454

17.5 平稳线性系统中的平稳随机函数的变换 464

17.6 应用平稳随机过程的理论来解决动力学系统的分析综合问题 472

17.7 平稳随机函数的各态历经性质 475

17.8 由一个现实定出平稳随机函数的各态历经性质 479

附录一 各种函数数值表 487

附录二 正态分布的扩散网络 497