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基础篇 1

第一章 行列式 1

§1 排列 1

§2 n阶行列式的概念 3

§3 行列式的主要性质 8

§4 行列式按行（列）展开 12

§5 克莱姆（Cramer）法则 18

§6 拉普拉斯（Laplace）定理、行列式的乘法规则 21

习题 24

第二章 矩阵 29

§1 矩阵的概念 29

§2 矩阵的运算 31

§3 逆矩阵 35

§4 分块矩阵 38

习题 41

第三章 消元法与初等变换 44

§1 消元法与线性方程组的初等变换 44

§2 矩阵的初等变换 45

§3 初等矩阵 48

§4 初等变换法求逆阵 50

§5 消元法求解线性方程组 52

习题 55

第四章 向量与矩阵的秩 60

§1 向量的概念 60

§2 n维向量空间 61

§3 向量的线性相关性 63

§4 向量组等价 66

§5 极大无关组 67

§6 矩阵的秩 69

习题 72

第五章 线性方程组 77

§1 线性方程组的建立与表示形式 77

§2 齐次线性方程组的解空间与基础解系 78

§3 非齐次线性方程组解的结构 83

§4 线性方程组求解举例 85

习题 88

第六章 特征值与特征向量 93

§1 矩阵的特征值与特征向量 93

§2 相似矩阵和矩阵的对角化 96

§3 正交矩阵的概念与性质 99

§4 实对称矩阵正交对角化 104

习题 106

第七章 二次型 109

§1 实二次型概念与标准形 109

§2 化实二次型为标准形 111

§3 实二次型的正惯性指数 117

§4 正定二次型 119

习题 124

应用篇 126

第八章 矩阵和线性方程组的应用 126

§1 日常矩阵运算 126

§2 投入产出数学模型 132

§3 线性规划数学模型 136

§4 通讯和交通网络问题 139

§5 状态离散和时间离散的马尔柯夫过程模型 140

第九章 矩阵相似对角化的应用 144

§1 生物遗传问题 144

§2 莱斯利（Leslie）种群模型 148

§3 常系数线性齐次微分（差分）方程组的解 152

§1 Dürer魔方 157

第十章 向量空间与内积的应用 157

§2 布尔（Boole）向量空间及应用 160

§3 矩阵空间 162

§4 内积及应用 165

第十一章 实二次型理论的应用 168

§1 二次曲线方程的化简 168

§2 二次曲面方程的化简 170

§3 求函数的最值应用 173

提高篇 175

第十二章 线性空间 175

§1 线性空间的定义与简单性质 175

§2 维数、基与坐标 177

§3 基变换与坐标变换 179

§4 线性子空间 182

§5 子空间的交与和 185

§6 子空间的直和 188

§7 线性空间的同构 189

习题 190

第十三章 线性变换 194

§1 线性变换的定义 194

§2 线性变换的运算 196

§3 线性变换的矩阵 198

§4 特征值与特征向量 203

§5 对角矩阵 205

§6 线性变换的值域与核 208

§7 不变子空间 210

§8 约当Jordan标准形与最小多项式 213

习题 216

第十四章 欧几里德（Euclid）空间 221

§1 定义与基本性质 221

§2 标准正交基与施密特正交化方法 225

§3 向量到子空间的距离、最小二乘法 229

§4 交变换与对称变换 232

§5 子空间的正交补 234

§6 酉空间简介 236

§7 主轴定理 237

§8 应用举例 239

习题 243

第十五章 多项式 246

§1 一元多项式及其运算 246

§2 多项式的整除性 248

§3 最大公因式 251

§4 因式分解定理 257

§5 重因式 259

§6 多项式的根 261

§7 复数域和实数域上的多项式 265

§8 有理数域上的多项式 266

习题 270

实验篇 272

第十六章 Mathematica软件简介 272

§1 Mathematica概述 272

§2 Mathematica的基本运算 275

§3 Mathematica的图形功能 280

§4 Mathematica程序设计 285

第十七章 线性代数基本问题的软件实现 288

§1 构造矩阵 288

§2 向量与矩阵的运算 290

§3 求解线性系统 295

§4 矩阵的特征值、特征向量与二次型 297

§5 矩阵的分解 300

习题 301

习题参考答案 302