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第一篇 高等数学 1

第一章 函数·极限·连续 1

§1 函数 1

一．有关函数概念的题型 1

题型Ⅰ 判别函数的等价性 1

题型Ⅱ 利用函数表示法与用什么字母表示无关的特性求解f（x）的表达式 1

目录 1

二．函数的性质 2

题型Ⅲ 函数奇偶性的判别 2

题型Ⅳ 求解给定函数的周期或周期性证明 3

题型Ⅴ 函数f（x）在某区间I上单调性的判别 4

题型Ⅵ 函数有界性的判别 4

三．复合函数 5

题型Ⅰ 已知数列的前几项数值及通项的表达式，求数列的极限 6

§2 极限 6

一．数列的极限 6

题型Ⅱ 求解n→∞时，n项和的极限 8

题型Ⅲ 求n→∞时，n项乘积的极限 9

题型Ⅳ 通项为积分形式的数列的极限 10

题型Ⅴ 利用子序列的极限与函数的极限等值定理，求数列极限 11

二．函数的极限 12

题型Ⅰ ？型未定式的定值法 12

题型Ⅱ ？型未定式的定值法 14

题型Ⅲ ∞-∞型未定式的定值法 15

题型Ⅳ　0·∞型未定式的定值法 15

题型Ⅴ 1∞,00,∞0型未定式的定值法 16

题型Ⅰ 确定无穷小的阶 17

三．无穷小的阶及极限式中常数值的确定 17

题型Ⅱ 极限式中常数值的确定 18

§3　函数的连续性 20

题型Ⅰ 函数连续性的讨论（重点） 20

题型Ⅱ 确定函数的间断点及其类型 21

题型Ⅲ 分段函数式中参数的确定（重点） 23

第二章　导数与微分 25

题型Ⅰ 利用导数定义求极限 25

题型Ⅱ 利用导数定义求函数在某点处的导数 26

题型Ⅲ 利用导数定义求函数方程 28

题型Ⅳ 求复合函数的导数 29

题型Ⅵ 由极坐标方程所确定的函数的导数 31

题型Ⅶ 隐函数微分法 31

题型Ⅴ 求参数方程所确定的函数的导数 31

题型Ⅷ 分段函数的导数的求法（重点） 32

题型Ⅸ 高阶导数的求法 34

题型Ⅹ 杂例 36

第三章　不定积分 38

题型Ⅰ 第一换元积分法（凑微分法） 38

题型Ⅱ 第二换元积分法 41

题型Ⅲ 分部积分法 43

题型Ⅳ 分式有理函数的积分 46

题型Ⅴ 简单无理函数的积分 47

题型Ⅵ 三角有理式的积分 47

题型Ⅶ 杂例 50

第四章　定积分 52

题型Ⅰ 利用定积分定义和性质求解的题型 52

题型Ⅱ 利用变上限积分的可微性求解的题型 55

题型Ⅲ 被积函数含有绝对值符号的定积分的计算 58

题型Ⅳ 利用奇偶函数与周期函数的性质简化定积分计算 59

题型Ⅴ 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的被积函数的积分 60

题型Ⅵ 被积函数中含“变上限积分”的积分 61

题型Ⅶ 被积函数的分母为两项，而分子为分母中其中一项的积分 61

题型Ⅷ 定积分等式的证明技巧 62

题型Ⅸ 定积分不等式的证明技巧 66

题型Ⅹ 定积分的杂例 71

题型Ⅺ 广义积分的计算 72

题型Ⅻ 判别广义积分的敛散性 74

第五章 中值定理 78

题型Ⅰ 有关闭区间上连续函数的命题的证明 78

题型Ⅱ 欲证结论为f(n)(？)＝0的命题的证法 79

题型Ⅲ 欲证结论为f(n)(？)＝k(k≠0)，或由a,b,f(a),f(b),？,f(？),f(？),…,f(n)(？)所构成的代数式的证法 81

题型Ⅳ欲证结论为（a,b）内？ ,η满足某种关系式的命题的证法 83

第六章 一元微积分的应用 86

§1 导数的应用 86

题型Ⅰ 利用导数判别函数单调增减性的方法证明不等式 86

题型Ⅱ 求函数的极值与最值 87

题型Ⅲ 关于方程根的研究 90

杂例 93

题型Ⅳ 函数图形在区间Ⅰ上凹凸性的判别 95

题型Ⅴ 渐近线类型：（1）水平渐近线；（2）铅直渐近线；（3）斜渐近线 96

§2　定积分的应用 96

题型Ⅰ 微元法及其应用 96

题型Ⅱ 平面图形面积的求法 98

题型Ⅲ 求立体体积 99

题型Ⅰ 向量的运算 102

第七章＊ 向量代数与空间解析几何 102

题型Ⅱ 求平面方程 104

题型Ⅲ 求空间直线方程 105

题型Ⅳ 平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系 106

题型Ⅴ 点到平面、点到直线的距离，两异面直线的距离 107

题型Ⅵ 线性代数中线性相关性在解析几何中的应用 108

题型Ⅶ 投影线方程 110

题型Ⅷ 旋转面方程 111

第八章＊ 多元函数微分学 112

题型Ⅰ 判别lim f（x,y）不存在的方法 112

题型Ⅱ 用全微分定义验证一个可导函数的可微性 112

题型Ⅲ 抽象的复合函数的偏导数的求法 114

题型Ⅳ 隐函数方程组的微分法 115

题型Ⅴ 多元函数微分学在几何中的应用 117

题型Ⅵ 多元微分学的有关证明题 118

题型Ⅶ 多元函数的极值 120

题型Ⅷ 杂例 122

第九章＊ 重积分 125

题型Ⅰ 关于二重积分概念及其性质的命题 125

题型Ⅱ 更换积分次序 127

题型Ⅲ 选择积分次序 127

题型Ⅳ 选择坐标系 128

题型Ⅴ 分段函数的积分 129

题型Ⅵ 涉及二次累次积分不等式的证明 131

题型Ⅶ 三重积分的计算 132

题型Ⅷ 杂例 135

题型Ⅰ 对弧长的曲线积分的计算 137

第十章＊ 曲线曲面积分 137

题型Ⅱ 对坐标的曲线积分计算（重点） 138

题型Ⅲ 对面积的曲面积分计算 144

题型Ⅳ 对坐标系的曲面积分计算 145

题型Ⅴ 曲面面积的计算 151

题型Ⅵ 场论初步 152

第十一章＊ 无穷级数 154

题型Ⅰ 有关级数概念及性质的命题 154

题型Ⅱ 正项级数？un（un≥0）的判敛 155

题型Ⅲ 任意项级数的判敛 156

题型Ⅳ 有关数项级数的命题的证明 158

题型Ⅴ 函数项级数？un（x）求收敛域，幂级数求收敛域、收敛半径R 159

题型Ⅵ 求函数的幂级数展开式 161

题型Ⅶ 级数求和 163

题型Ⅷ 付立叶级数 166

第十二章 常微分方程 169

题型Ⅰ 可求解的一阶微分方程 169

题型Ⅱ 可降阶的高阶微分方程的解法 173

题型Ⅲ 高阶常系数线性微分方程的解法 175

题型Ⅳ＊ 欧拉方程的解法 179

题型Ⅴ 微分方程在几何和力学中的应用 179

第二篇 线性代数 183

第一章 行列式 183

题型Ⅰ 确定用行列式表示的多项式f（x）中，关于x的最高次数及x的各次幂前的系数 183

题型Ⅱ 涉及方阵、逆矩阵、伴随矩阵、向量等概念的3～5阶行列式的计算 185

题型Ⅲ 证明抽象行列式等于零的方法 187

题型Ⅳ n阶行列式的计算法 188

题型Ⅴ 综合题 193

第二章　矩阵 195

题型Ⅰ 关于矩阵的基本性质及初等变换的命题 195

题型Ⅱ 有关αTα与ααT命题的求解与论证 198

题型Ⅲ 求n阶方阵A的k次幂Ak的方法 200

题型Ⅳ 求满秩矩阵的逆矩阵 202

题型Ⅴ 求解矩阵方程 204

题型Ⅵ 关于矩阵A存在逆矩阵的证明 206

题型Ⅶ 与方阵A的伴随矩阵A＊有关的命题的计算与证明 207

题型Ⅷ 矩阵秩的求法及有关矩阵秩的等式与不等式的证明 209

题型Ⅸ　综合题 211

第三章　向量 212

题型Ⅰ 有关向量的概念及其性质的命题 212

题型Ⅱ 有关线性组合的判别与证明的命题 214

题型Ⅲ 有关线性表出的命题的证法 215

题型Ⅳ 向量线性相关性的证法 216

题型Ⅴ 求向量组的极大线性无关组及向量组秩的有关命题的证明 219

题型Ⅵ＊ 求过渡矩阵与向量的坐标 221

题型Ⅶ＊ 有关正交矩阵命题的证明 222

第四章 线性方程组 224

题型Ⅰ 有关线性方程解的概念及性质的命题 224

题型Ⅱ 含有参数的线性方程组解的讨论 227

题型Ⅲ 有关基础解系的命题的证法 229

题型Ⅳ 涉及两个方程组解之间关系的命题的讨论 230

题型Ⅴ 综合题 233

第五章　矩阵的特征值与特征向量 236

题型Ⅰ 有关特征值与特征向量概念及性质的命题 237

题型Ⅱ 特征值的求法与证法 239

题型Ⅲ 矩阵（kE-A）是否可逆的特征值证法 242

题型Ⅳ 两矩阵相似的证法 243

题型Ⅴ P-1AP＝Λ中已知两者求第三者的方法 245

第六章＊ 二次型 248

题型Ⅰ 有关概念及性质的命题 248

题型Ⅱ 将二次型f(x1,x2,…,xn)＝2(x1,…,xn)？2化为标准形f＝λ1y？＋λ2y2＋ ＋λny2的方法 251

题型Ⅲ 二次型与其标准形中参数的确定及正交变换 254

题型Ⅳ 有关正定矩阵命题的证明 257

第三篇 概率论与数理统计初步 260

第一章　事件的概率 260

题型Ⅰ 利用古典概型与加法定理计算概率 260

题型Ⅱ 利用条件概率与乘法公式计算概率 261

题型Ⅲ 利用全概公式和逆概公式（贝叶斯公式）计算概率 264

题型Ⅳ 单项选择题 266

第二章 随机变量及其分布 267

题型Ⅰ 一维随机变量的分布函数及分布密度 267

题型Ⅱ 二维随机变量（X,Y）的分布函数及其密度 272

题型Ⅲ 一维随机变量函数Y＝g（X）分布律（分布密度）的求法 275

题型Ⅳ 二维随机变量（X,Y）函数g（X,Y）的分布律（分布密度）的求法 276

第三章 随机变量的数字特征 280

题型Ⅰ 一维随机变量的数字特征 280

题型Ⅱ 一维随机变量函数的数字特征 282

题型Ⅲ 求二维随机变量的数字特征 285

题型Ⅳ 二维随机变量（X,Y）函数Z＝g（X,Y）的数字特征 286

题型Ⅴ 多维随机变量数字特征的求解技巧（（0-1）分布分解法简介） 288

题型Ⅵ 有关证明题 290

题型Ⅰ 估算随机事件的概率 292

第四章　大数定律和中心极限定理 292

题型Ⅱ 试验次数n的确定 295

题型Ⅲ 证明题 296

第五章　数理统计初步 298

题型Ⅰ 样本容量n，样本均值？及样本方差S2的数字特征和概率的求法 298

题型Ⅱ 求抽样分布 301

题型Ⅲ 统计量的点估计？ 302

题型Ⅳ 正态总体均值与方差的区间估计 304

题型Ⅴ 估计量的评选标准 307

题型Ⅵ 一个正态总体均值的假设检验 309

题型Ⅶ 一个正态总体方差D（X）＝σ2的假设检验 310

题型Ⅲ 两个正态总体均值的检验 311

篇后篇 单项选择题的解题技巧 315

数学一　模拟试题（一）及参考答案 325

数学一　模拟试题（二）及参考答案 332

数学一　模拟试题（三）及参考答案 341

数学一　模拟试题（四）及参考答案 347

数学一　模拟试题（五）及参考答案 356

数学一　模拟试题（六）及参考答案 363

数学二　模拟试题（一）及参考答案 370

数学二　模拟试题（二）及参考答案 375

数学二　模拟试题（三）及参考答案 380

数学二　模拟试题（四）及参考答案 385

数学二　模拟试题（五）及参考答案 389

数学二　模拟试题（六）及参考答案 395

附录1　2001年硕士研究生入学考试数学试题一、二及参考答案 401

附录2　2002年硕士研究生入学考试数学试题一、二及参考答案 414

附录3　2003年硕士研究生入学考试数学试题一、二及参考答案 431