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第一部 1

第一章　归纳法 3

1．经验与信念 4

2．暗示的接触点 4

3．支持的接触点 6

4．归纳的态度 8

例题与评注 9

1．一般化、特殊化、类推、归纳 13

2．一般化 13

第二章　一般化、特性化、类推 13

3．特殊化 14

4．类推 14

5．一般化、特殊化、类推 16

6．使用类推的发现 18

7．类推与归纳 23

例题与评注 24

第三章　立体几何中的归纳 39

1．多面体 39

2．第一个支持点 42

4．严厉的考验 43

3．更多的支持点 43

5．验证、再验证 45

6．一个非常不同的实例 46

7．类同 47

8．空间的分割 48

9．修饰问题 49

10．一般化、特殊化、类同 49

11．一个类同的问题 49

12．一系列的类同问题 51

13．问题愈多可能愈容易 52

14．一个猜测 53

15．预测和验证 54

16．精益求精 55

17．归纳暗示了演绎；特例暗示了一般证明 56

18．更多的猜想 57

例题与评注 57

第四章　归纳法在数论上的应用 67

1．整数直角三角形 67

2．平方和 70

4．仔细看一个例子 72

3．四个奇平方之和 72

5．列出观察结果 74

6．规则是什么 74

7．归纳发现的本质 77

8．归纳证据的本质 78

例题与评注 80

第五章　归纳法的一些例子 87

1．展开 87

2．近似 89

3．极限 91

4．尝试反证它 92

5．尝试证明它 93

6．归纳阶段的功用 96

例题与评注 97

第六章　一个较一般的陈述 105

1．尤拉 105

2．尤拉的论文集 105

3．转变成更一般的观点 114

4．尤拉论文的系统大纲 115

例题与评注 116

1．归纳阶段 125

第七章　数学归纳法 125

2．证明阶段 127

3．细看转换过程 128

4．数学归纳法的技术 129

例题与评注 135

第八章　极大与极小 141

1．模式 141

2．例题 142

3．正切水准线之模式 144

4．例子 146

5．部分变动模式 149

6．算术及几何平均数定理及其第一个结论 151

例题与评注 153

第九章　物理数学 167

1．光学上的解释 167

2．力学上的解释 172

3．重新解释 175

4．白努利关於捷线之发现 178

5．阿基米得关於积分学之发现 181

例题与评注 185

1．笛卡儿的归纳推理 197

第十章　等周问题 197

2．潜在的推理 198

3．物理的推理 199

4．雷利的归纳推理 199

5．推导出结论 200

6．验证结论 203

7．非常接近了 207

8．等周定理的三个形式 208

9．应用及问题 210

例题与评注 211

2．用相关情况来判断 221

第十一章　其他的似真推理 221

1．猜测再猜测 221

3．用一般情况来判断 223

4．宁可猜测简单一点 225

5．背景 228

6．无穷尽 230

7．通常的启发式的假设 231

例题与评注 232

最後的评注 245

第二部 247

第十二章 若干显著的模式 249

1．结论之验证 249

2．若干结论之逐项验证 251

3．似不可信的结论之验证 253

4．类推之推论 255

5．类推之深入 257

6．蒙昧的类推推论 259

例题与评注 259

1．检验结论 267

第十三章 其他模式及其第一连锁 267

2．检验可能之基础 268

3．检验—抵触之猜测 269

4．逻辑用语 270

5．似真推论模式间的逻辑联系 272

6．渐变之推论 273

7．表 275

8．简单模式的结合 275

9．由类推之推论 277

10．有条件的推论 278

12．关於对立猜测 281

11．关於逐步验证 281

13．法官的证明 283

例题与评注 287

第十四章　运气，永远出现的对立猜测 305

1．随机大量现象 305

2．概率的概念 307

3．球与球之使用 310

4．概率计算统计假设 313

5．单刀直入预测频率 314

6．现象之解释 320

7．统计假设之判断 324

8．统计假设间之取舍 328

9．非统计推测之判断 334

10．数学猜测之判断 345

例题与评注 348

第十五章 概率演算与似真推理逻辑 359

1．似真推理法则 359

2．演绎推理之一面 361

3．似真推理之对应方面 363

4．概率演算之一面：困难 366

5．概率演算之一面：尝试 367

6．结论之检验 368

7．可能基础之检验 372

8．抵触推测之检验 373

9．一连串检验若干结论 375

10．关於间接证据（情况证据） 377

例题与评注 379

第十六章　发明及教学中之似真推理 391

1．本章之目的 391

2．一则小发现的故事 391

3．解题之过程 394

4．神来之笔 396

5．启发式证明 397

6．另一个发现的故事 398

7．若干典型的指示 403

8．发明中的归纳 404

9．敬告教师 408

例题与评注 410

题解 419

参考资料 523