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第九章　无穷级数 1

第一节　数项级数 1

9.1.1　无穷级数的基本概念 1

9.1.2　正项级数 4

9.1.3　交错级数 15

9.1.4　绝对收敛级数 16

9.1.5　收敛性的一般判别法 22

第二节　函数项级数 25

9.2.1　函数项级数的收敛概念 25

9.2.2　函数项级数一致收敛的概念 27

9.2.3　一致收敛级数的性质 33

第三节　幂级数与泰勒展开式 37

9.3.1　幂级数的收敛半径 37

9.3.2　幂级数的性质 40

9.3.3　函数的泰勒展式 45

9.3.4　初等函数的展开 48

9.3.5　幂级数的运算 52

第四节　级数的应用 53

9.4.1　幂级数应用于近似计算 53

9.4.2　司特林公式 55

9.4.3　隐函数存在定理 59

第十章　含参变量的积分 63

第一节　广义积分的收敛性判别 63

10.1.1　无穷区间积分的收敛判别法 63

10.1.2　收敛性的精细判别法 67

10.1.3　无界函数积分的收敛判别法 73

第二节　含参变量的常义积分 75

10.2.1　含参变量积分的性质 75

10.2.2　积分限依赖于参变量的积分性质 79

10.3.1　积分的一致收敛概念 82

第三节　含参变量的广义积分 82

10.3.2　一致收敛积分的性质 86

10.3.3　几个重要的积分 91

第四节　欧拉积分 95

10.4.1　Г函数的性质 95

10.4.2　B函数的性质 97

第十一章　富里叶分析 103

第一节　周期函数的富里叶级数 103

11.1.1　周期函数、三角函数的正交性 103

11.1.2　富里叶级数 105

11.1.3　偶函数与奇函数的富里叶级数 109

11.1.4　任意周期的情形 112

11.1.5　有限区间上的函数的富里叶级数 116

11.1.6　复数形式的富里叶级数 120

11.1.7　贝塞尔不等式 121

11.1.8　富里叶级数的收敛性 125

第二节　广义富里叶级数 130

11.2.1　函数空间和么正函数系 130

11.2.2　广义富里叶级数及平方平均收敛 132

11.3.1　富里叶积分 136

第三节　富里叶变换 136

11.3.2　富里叶变换 138

11.3.3　富里叶变换的性质 142

11.3.4　高维富里叶变换 144

第十二章　线性微分方程 146

第一节　微分方程解的存在唯一性定理 146

12.1.1　皮卡逐次逼近法 146

12.1.2　方向场，欧拉折线法 152

第二节　二阶线性微分方程的一般理论 154

12.2.1　齐次线性方程解的结构 155

12.2.2　非齐次线性方程解的结构 162

12.2.3　应用幂级数求解方程 166

第三节　二阶常系数线性微分方程 170

12.3.1　常系数齐次线性方程 171

12.3.2　常系数非齐次线性方程 173

12.3.3　欧拉方程 177

第四节　质点的振动 179

12.4.1　自由简谐振动 179

12.4.2　自由阻尼振动 181

12.4.3　无阻尼的强迫振动 183

12.4.4　有阻尼的强迫振动 185

第五节 n阶线性微分方程 187

12.5.1 n阶线性方程解的结构 188

12.5.2 n阶常系数线性方程的求解 189

第六节　微分方程组 191

12.6.1　一般概念 191

12.6.2　消元升阶法 195

12.6.3　第一积分法 201

12.6.4　线性方程组解的结构 207

12.6.5　代数求解法 209