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绪论 1

第1章 基本概念 3

1.1数学归纳法 3

1.1.1正整数集 3

1.1.2数学归纳法 5

习题1.1 6

1.2数环与数域 7

1.2.1数环与数域的概念 7

1.2.2整数环的一些整除性质 9

1.2.3群、环与域 11

习题1.2 12

第2章 多项式 13

2.1一元多项式及其运算 13

2.1.1一元多项式的概念 13

2.1.2一元多项式的运算 14

习题2.1 17

2.2多项式的整除性 17

2.2.1整除的概念与性质 17

2.2.2带余除法 19

习题2.2 20

2.3多项式的最大公因式 20

2.3.1最大公因式与辗转相除法 20

2.3.2两个多项式互素 24

习题2.3 25

2.4多项式函数 26

2.4.1多项式函数 26

2.4.2多项式函数的零点 28

习题2.4 30

2.5多项式的分解 30

2.5.1不可约多项式 30

2.5.2因式分解定理 32

习题2.5 34

2.6重因式 34

2.6.1重因式与重根 34

2.6.2多项式的导数 35

2.6.3重因式的判别法 36

习题2.6 38

2.7实数与复数域上的多项式 38

2.7.1复数域上的多项式 38

2.7.2实数域上的多项式 40

习题2.7 42

2.8有理数域上的多项式 43

2.8.1有理数域上多项式的可约性 43

2.8.2有理数域上多项式的有理根 45

习题2.8 47

总练习题2 47

第3章 行列式 51

3.1行列式的引入与排列 51

3.1.1行列式的引入 51

3.1.2排列 53

习题3.1 55

3.2 n阶行列式 55

3.2.1 n阶行列式的概念 55

3.2.2 n阶行列式的性质 58

习题3.2 61

3.3行列式按一行（列）展开 62

3.3.1子式与代数余子式 62

3.3.2行列式按一行（列）展开 63

习题3.3 68

3.4克莱姆法则 69

习题3.4 73

总练习题3 73

第4章 线性方程组 77

4.1消元法与矩阵的初等变换 77

4.1.1消元法 77

4.1.2矩阵与其初等变换 78

习题4.1 85

4.2 n维向量 86

4.2.1向量的概念 86

4.2.2线性表出 88

习题4.2 90

4.3在Fn中向量组的线性关系 91

4.3.1线性相关与线性无关 91

4.3.2极大线性无关组 93

习题4.3 95

4.4矩阵的秩 95

4.4.1矩阵的秩的概念 95

4.4.2矩阵的秩的性质 98

习题4.4 100

4.5线性方程组的可解性与解结构 101

4.5.1线性方程组的可解性 101

4.5.2线性方程组的解结构 103

习题4.5 108

总练习题4 109

第5章 矩阵 112

5.1矩阵的运算 112

5.1.1矩阵的线性运算 112

5.1.2矩阵的乘法运算 113

5.1.3矩阵的转置 117

习题5.1 118

5.2可逆矩阵 119

5.2.1可逆矩阵的概念与性质 119

5.2.2矩阵可逆的充分条件 121

习题5.2 123

5.3初等矩阵 124

5.3.1初等矩阵的概念与性质 124

5.3.2等价矩阵的概念与性质 128

5.3.3利用初等变换求矩阵的逆 131

习题5.3 134

5.4分块矩阵 134

5.4.1分块矩阵的概念与运算 134

5.4.2分块矩阵的应用 138

习题5.4 141

总练习题5 142

第6章向量空间 145

6.1向量空间的概念与简单性质 145

6.1.1向量空间的引入 145

6.1.2向量空间的定义 146

6.1.3向量空间的基本性质 148

习题6.1 149

6.2在向量空间V中向量组的线性关系 149

6.2.1线性相关与线性无关 149

6.2.2向量组之间的线性关系 151

6.2.3向量空间V中的极大线性无关组 153

习题6.2 154

6.3基、维数与坐标 155

6.3.1向量空间的基与维数 155

6.3.2坐标 157

习题6.3 159

6.4基变换与坐标变换 159

6.4.1基变换 159

6.4.2坐标变换 161

习题6.4 163

6.5子空间 164

6.5.1子空间的概念 164

6.5.2生成子空间 165

习题6.5 167

6.6子空间的交与和 168

6.6.1子空间的交与和的概念 168

6.6.2子空间的维数公式 171

6.6.3子空间的直和 172

习题6.6 174

6.7向量空间的同构 174

6.7.1映射 174

6.7.2同构映射 175

6.7.3向量空间的同构 178

习题6.7 179

总练习题6 179

第7章 线性变换 182

7.1线性变换的概念与性质 182

7.1.1线性变换的概念 182

7.1.2线性变换的性质 183

习题7.1 187

7.2线性变换的运算 188

7.2.1线性变换的线性运算 188

7.2.2线性变换的乘法 190

7.2.3线性变换的逆 192

习题7.2 194

7.3线性变换的矩阵 194

7.3.1线性变换与其矩阵的概念 195

7.3.2线性变换与其矩阵的性质 197

习题7.3 200

7.4不变子空间 201

7.4.1不变子空间的概念 201

7.4.2用不变子空间寻找简单相似矩阵 203

习题7.4 205

7.5特征值与特征向量 205

7.5.1特征值与特征向量的概念 205

7.5.2特征多项式 207

习题7.5 211

7.6矩阵的对角化 211

7.6.1矩阵可对角化的第一个等价条件 211

7.6.2矩阵可对角化的第二个等价条件 214

习题7.6 216

7.7若尔当标准形介绍 217

7.7.1若尔当矩阵 217

7.7.2若尔当标准形 219

习题7.7 221

总练习题7 221

第8章 欧氏空间 225

8.1欧氏空间的定义及度量 225

8.1.1欧氏空间的定义 225

8.1.2欧氏空间的度量 227

习题8.1 230

8.2规范正交基 230

8.2.1规范正交基的概念 230

8.2.2规范正交基的存在性 232

习题8.2 235

8.3子空间的正交关系 235

8.3.1向量与子空间的正交关系 235

8.3.2子空间与子空间的正交关系 239

习题8.3 241

8.4正交变换 241

8.4.1正交变换的概念与性质 241

8.4.2正交变换的分类 244

8.4.3欧氏空间的同构 244

习题8.4 246

8.5对称变换与对称矩阵 247

8.5.1对称变换的概念与性质 247

8.5.2实对称矩阵的对角化 248

8.5.3实对称矩阵的对角化步骤 249

习题8.5 251

8.6酉空间与酉变换介绍 252

8.6.1酉空间的概念与性质 252

8.6.2酉变换与对称变换 253

习题8.6 254

总练习题8 255

第9章 二次型 258

9.1二次型及其矩阵 258

9.1.1二次型的定义 258

9.1.2二次型的化简与对称矩阵的合同 260

9.1.3矩阵的相似与合同之间的关系 263

习题9.1 263

9.2用可逆替换简化二次型 264

9.2.1配方法 264

9.2.2矩阵法 267

习题9.2 270

9.3规范形 270

9.3.1规范形的概念 271

9.3.2惯性定理 272

习题9.3 274

9.4正定二次型 274

9.4.1正定二次型的概念 274

9.4.2二次型正定的等价条件 275

9.4.3利用矩阵的顺序主子式判别其正定性 276

习题9.4 279

9.5双线性映射 279

9.5.1量度矩阵的概念与性质 279

9.5.2双线性映射与二次型 282

习题9.5 284

总练习题9 285

参考文献 287