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目录 1

第一章 复变函数 1

§1.1 复数的概念 1

§1.2 复数的几何表示法 2

§1.3 复数的运算 5

§1.4 复变函数 8

§1.5 复变函数的极限 13

§1.6 复变函数的连续 13

习题 14

第二章 解析函数 17

§2.1 复变函数的导数 17

§2.2 柯西-黎曼条件 18

§2.3 解析函数 21

§2.4 解析函数与调和函数的关系 23

§2.5 初等解析函数 29

§2.6 解析函数的应用——平面场的复势 35

习题 39

§3.1 基本概念 41

第三章 复变函数的积分 41

§3.2 复变函数和积分 42

§3.3 柯西定理 45

§3.4 柯西积分公式 48

§3.5 柯西积分公式的几个推论 53

习题 56

第四章 解析函数的幂级数表示法 59

§4.1 复数项级数 59

§4.2 复变函数项级数 61

§4.3 幂级数 66

§4.4 解析函数的幂级数展开 69

§4.5 解析函数的孤立奇点 81

§4.6 解析函数在无穷远点的性质 85

§4.7 解析开拓 87

§4.8 应用 89

习题 91

第五章 留数理论及其应用 95

§5.1 留数的基本理论 95

§5.2 用留数定理计算实积分 101

§5.3 对数留数和辐角原理 114

习题 117

第六章 广义函数 120

§6.1 δ函数 120

§6.2 广义函数的引入 121

§6.3 广义函数的基本运算 126

§6.4 广义函数的傅里叶变换 129

§6.5 广义解 133

习题 133

第七章 完备正交函数系展开法 134

§7.1 正交性 134

§7.2 零函数 135

§7.3 完备性 136

§7.4 推广 140

第八章 斯特姆-刘维本征值问题 142

§8.1 本征值问题的提法 142

§8.2 本征值问题的主要结论 144

§8.3 其他型的本征值问题 155

第九章 傅里叶级数和傅里叶变换 157

§9.1 周期函数和傅里叶级数 157

§9.2 完备正交函数系 159

§9.3 傅里叶级数的性质 162

§9.4 傅里叶级数的应用 169

§9.5 有限区间上的函数的傅里叶级数 173

§9.6 复指数形式的傅里叶级数 174

§9.7 傅里叶展开与罗朗展开的联系 175

§9.8 傅里叶积分与变换 177

§9.9 傅里叶变换的性质 179

§9.10 小波变换的引荐 188

§9.11 三种定义式 192

习题 192

§10.1 拉普拉斯变换的概念 196

第十章 拉普拉斯变换 196

§10.2 基本函数的拉氏变换 198

§10.3 拉氏变换的性质 199

§10.4 拉普拉斯逆变换 207

§10.5 应用 215

习题 220

第十一章 二阶线性常微分方程的级数解法 223

§11.1 常点邻域的级数解法 223

§11.2 正则奇点邻域的级数解法 226

§11.3 求第二个解的方法 231

§11.4 非正则奇点的渐近解 239

§11.5 渐近展开和最陡下降法 239

习题 245

第十二章 数学模型——定解问题 246

§12.1 引言 246

§12.2 数学模型的建立 247

§12.3 定解条件 257

§12.4 定解问题 264

§12.5 求解途径 265

习题 266

第十三章 二阶线性偏微分方程的分类 268

§13.1 基本概念 268

§13.2 二阶线性偏微分方程的分类及标准化 269

§13.3 二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简 273

§13.4 三类方程的物理内涵 275

§13.5 二阶线性偏微分方程的特征 277

习题 278

§14.1 通解 280

第十四章 行波法 280

§14.2 行波解 282

§14.3 达朗贝尔公式 284

§14.4 半无限长弦的自由振动 291

§14.5 两端固定的弦的自由振动 294

§14.6 齐次化原理（Duhamel原理） 295

§14.7 非线性偏微分方程 296

习题 298

§15.1 分离变量 300

第十五章 分离变量法 300

§15.2 直角坐标系中的分离变量法 302

§15.3 圆柱坐标系中的分离变量法 323

§15.4 球坐标系中的分离变量法 331

习题 337

第十六章 勒让德函数 341

§16.1 勒让德多项式的定义及表示 341

§16.2 勒让德多项式的性质 345

§16.3 第二类勒让德函数Ql（x） 352

§16.4 勒让德方程的本征值问题 353

§16.5 连带勒让德方程及其解 354

§16.6 球谐函数 358

§16.7 应用 362

习题 366

第十七章 贝塞尔函数 368

§17.1 贝塞尔方程及其解 368

§17.2 整数阶（第一类）贝塞尔函数 372

§17.3 修正贝塞尔方程及其解 383

§17.4 球贝塞尔方程及球贝塞尔函数 386

§17.5 广义贝塞尔函数 392

§17.6 应用 393

习题 404

第十八章 积分变换法 406

§18.1 傅里叶变换 406

§18.2 拉普拉斯变换 411

§18.3 傅氏正弦变换 417

§18.4 傅氏余弦变换 418

§18.5 汉克尔变换 419

§18.6 应用于有界区域的问题 423

习题 424

§19.1 基本概念 426

第十九章 变分法 426

§19.2 泛函的极值 427

§19.3 泛函极值与数学物理问题的关系 431

§19.4 求泛函极值的直接方法——里茨法 434

习题 436

第二十章 格林函数法 438

§20.1 格林公式 438

§20.2 稳态边值问题的格林函数法 438

§20.3 热传导问题的格林函数法 443

§20.4 波动问题的格林函数法 446

§20.5 格林函数的确定 447

§20.6 应用 457

习题 463

第二十一章 保角变换法 465

§21.1 保角变换及其基本问题 465

§21.2 常用的几种保角变换 471

§21.3 多角形的变换 480

§21.4 应用 489

习题 496

主要参考书目 497