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第一部分 代数理论 3

第1章 代数数域和代数整数环 3

1.1 代数数域 3

1.1.1 单扩张定理 3

1.1.2 数域的嵌入 4

1.1.3 范与迹 7

1.1.4 元素的判别式 8

1.1.5 单位根 11

习题 13

1.2 代数整数环 14

1.2.1 代数整数 14

1.2.2 代数整数环 16

1.2.3 整基，数域的判别式 18

习题 24

第2章 整数环中的素理想分解 25

2.1 分解的存在唯一性 25

2.1.1 Dedekind整环 25

2.1.2 整数环OK是Dedekind整环 29

2.1.3 分式理想，理想的范 31

习题 35

2.2 分歧指数，剩余类域次数和分裂次数 37

2.2.1 e,f,g 37

2.2.2 素理想分解和多项式分解 40

2.2.3 应用：素数在二次域中的分解，二平方和定理 42

2.2.4 判别式定理 44

2.2.5 应用：纯三次域的整基 48

习题 50

2.3 伽罗瓦扩域中的素理想分解 51

2.3.1 n=efg 51

2.3.2 分解群和惯性群 53

2.3.3 Frobenius自同构 56

2.3.4 素数在分圆域中的分解 58

习题 60

2.4 Kronecker-Weber定理 61

2.4.1 二次域是分圆域的子域 61

2.4.2 分歧群和分歧域 65

2.4.3 Kronecker-Weber定理 67

2.4.4 Abel数域的导子和互反律 72

习题 74

第3章 理想类群和单位群 76

3.1 类群和类数 76

3.1.1 Rn中的格，Minkowski定理 77

3.1.2 类数有限性定理 80

习题 86

3.2 Dirichlet单位定理 87

3.2.1 Dirichlet单位定理 87

3.2.2 实二次域的基本单位，Pell方程 91

3.2.3 其他例子 95

3.2.4 关于费马猜想的Kummer定理 102

习题 104

第二部分 解析理论 107

第4章 ζ（s），L（s,x）和ζK（s） 107

4.1 Dirichlet级数的一般理论 107

4.1.1 Dirichlet级数环——形式化理论 107

4.1.2 收敛横坐标——解析工具的引入 113

习题 119

4.2 Riemann zeta函数ζ（s）和Dirichlet L函数L（s,x） 120

4.2.1 ζ（s）的函数方程，Riemann猜想 120

4.2.2 有限Abel群的特征 123

4.2.3 Dirichlet L函数 129

4.2.4 Dirichlet级数在负整数处的值，Bernoulli数 133

习题 138

4.3 Dedekind zeta函数ζK（s） 141

4.3.1 留数公式 141

4.3.2 ζK（s）的函数方程 147

习题 149

第5章 密度问题 151

5.1 素数定理和素理想定理 152

5.1.1 素数定理 152

5.1.2 算术级数中的素数定理 157

5.1.3 素理想定理 158

5.2 密度定理及其应用 160

5.2.1 Dirichlet密度 160

5.2.2 素理想的分裂和多项式的分裂 162

5.2.3 Abel L-函数，Чеботарёв密度定理 165

习题 170

第6章 Abel数域的类数公式 171

6.1 Hasse类数公式 171

6.2 二次域的类数公式 178

6.3 分圆域的类数公式，Kummer结果 182

习题 194

附录A 进一步阅读的参考书 196

附录B 关于群、环、域的一些知识 199

附录C 我怎样走向学习代数数论之路 208

附录D 南开忆往 215