考研数学常考题型解题方法技巧归纳 数学三 下PDF电子书下载

第2篇 线性代数 238

2.1 计算行列式 238

2.1.1 计算数字型行列式 238

题型2.1.1.1 计算非零元素（主要）在一条或两条线上的行列式 238

题型2.1.1.2 计算非零元素在三条线上的行列式 240

题型2.1.1.3 计算行（列）和相等的行列式 241

题型2.1.1.4 计算范德蒙行列式 242

题型2.1.1.5 求代数余子式之和的值 243

题型2.1.1.6 计算n阶可逆矩阵的所有代数余子式的和 244

题型2.1.1.7 求行列式中含某因子的所有项 244

2.1.2 计算抽象矩阵的行列式 245

题型2.1.2.1 计算由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值 245

题型2.1.2.2 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 246

题型2.1.2.3 计算含零子块的四分块矩阵的行列式 247

题型2.1.2.4 证明方阵的行列式等于零 247

2.1.3 克拉默法则的应用 248

2.2 矩阵 251

2.2.1 证明矩阵的可逆性 251

题型2.2.1.1 证明矩阵可逆 251

题型2.2.1.2 证明和（差）矩阵可逆 253

题型2.2.1.3 证明方阵为不可逆矩阵 254

2.2.2 矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法 254

2.2.3 求解与伴随矩阵有关的问题 256

题型2.2.3.1 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 256

题型2.2.3.2 求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵 257

题型2.2.3.3 求与伴随矩阵有关的矩阵的秩 258

题型2.2.3.4 求伴随矩阵 259

题型2.2.3.5 证明伴随矩阵的性质 260

2.2.4 计算方阵高次幂的方法 260

2.2.5 求矩阵的秩 265

题型2.2.5.1 求元素具体给定的矩阵的秩 265

题型2.2.5.2 求抽象矩阵的秩 266

题型2.2.5.3 已知矩阵的秩，求其待定常数 269

2.2.6 分块矩阵乘法运算的应用 270

2.2.7 初等变换与初等矩阵的关系的应用 271

题型2.2.7.1 用初等矩阵表示初等变换 271

题型2.2.7.2 利用初等矩阵的性质计算矩阵 272

题型2.2.7.3 利用矩阵的初等变换性质解题 273

2.2.8 求解矩阵方程 273

题型2.2.8.1 求解含单位矩阵E加项的矩阵方程 274

题型2.2.8.2 求解只含一个未知矩阵的矩阵方程 275

题型2.2.8.3 求解含多个未知矩阵的矩阵方程 275

题型2.2.8.4 已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式 277

2.2.9 求解与矩阵等价的有关问题 278

题型2.2.9.1 判别两矩阵等价 278

题型2.2.9.2 利用矩阵等价的性质求解有关问题 279

2.3 向量 280

2.3.1 判别向量组线性相关、线性无关 280

题型2.3.1.1 用线性相关性定义做选择题、填空题 280

题型2.3.1.2 判别分量已知的向量组的线性相关性 281

题型2.3.1.3 证明几类向量组的线性相关性 283

题型2.3.1.4 已知向量组的线性相关性，求其待定常数 288

2.3.2 判定向量能否由向量组线性表示 289

题型2.3.2.1 判定分量已知的向量能否由向量组线性表示 289

题型2.3.2.2 判断一抽象向量能否由向量组线性表示 290

题型2.3.2.3 判别一向量组可否由另一向量组线性表示 291

2.3.3 两向量组等价的判别方法及常用证法 292

2.3.4 向量组的秩与极大线性无关组的求（证）法 295

题型2.3.4.1 求分量给出的向量组的秩及其极大无关组 295

题型2.3.4.2 将向量用极大线性无关组线性表示 296

题型2.3.4.3 求解（证明）与向量组的秩有关的问题 297

题型2.3.4.4 证一向量组为一极大无关组 298

2.3.5 将线性无关向量组正交规范化 299

2.4 线性方程组 301

2.4.1 判定线性方程组解的情况 301

题型2.4.1.1 判定齐次线性方程组解的情况 301

题型2.4.1.2 判定非齐次线性方程组解的情况 304

2.4.2 由其解反求方程组或其参数 305

题型2.4.2.1 已知AX=0的解的情况，反求A中参数 305

题型2.4.2.2 已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数 306

题型2.4.2.3 已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵 307

2.4.3 证明一组向量为基础解系 308

2.4.4 基础解系和特解的简便求法 310

2.4.5 求解含参数的线性方程组 311

题型2.4.5.1 求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组 312

题型2.4.5.2 求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组 316

题型2.4.5.3 求解参数仅出现在常数项的线性方程组 316

题型2.4.5.4 求解通解满足一定条件的含参数的方程组 317

题型2.4.5.5 求解有无穷多解的矩阵方程 318

2.4.6 求抽象线性方程组的通解 319

题型2.4.6.1 A没有具体给出，求AX=0的通解 319

题型2.4.6.2 已知AX=b的特解，求其通解 320

题型2.4.6.3 利用线性方程组的向量形式求（证明）其解 322

2.4.7 求两线性方程组的非零公共解 323

题型2.4.7.1 求两齐次线性方程组的非零公共解 323

题型2.4.7.2 证明两齐次线性方程组有非零公共解 324

题型2.4.7.3 讨论两方程组同解的有关问题 324

2.5 矩阵的特征值、特征向量 327

2.5.1 求矩阵的特征值、特征向量 327

题型2.5.1.1 求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量 327

题型2.5.1.2 求（证明）抽象矩阵的特征值、特征向量 329

2.5.2 由特征值和（或）特征向量反求其矩阵 331

题型2.5.2.1 由特征值和（或）特征向量反求其矩阵的待定常数 331

题型2.5.2.2 已知特征值、特征向量，反求其矩阵 332

2.5.3 已知—矩阵的特征值、特征向量，求相关联矩阵的特征值、特征向量 334

2.5.4 判别或证明方阵是否可对角化 336

题型2.5.4.1 判别元素给定的矩阵是否可对角化 336

题型2.5.4.2 判别或证明含重特征值的矩阵是否可对角化 337

题型2.5.4.3 判别或证明满足抽象矩阵等式的矩阵是否可对角化 337

2.5.5 相似矩阵的判别及其性质的简单应用 338

题型2.5.5.1 判定两方阵是否相似 339

题型2.5.5.2 相似矩阵性质的简单应用 340

2.5.6 与两矩阵相似有关的计算 341

题型2.5.6.1 n阶矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1AP=diag（λ1，λ2，…，λn）（λi为A的特征值） 341

题型2.5.6.2 求n阶实对称矩阵A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1AQ=QTAQ=diag（λ1，λ2，…，λn）（λi为A的特征值） 343

题型2.5.6.3 A为实对称矩阵，求与其相似的对角矩阵∧ 344

题型2.5.6.4 已知矩阵A和可逆阵P，使P-1AP=B，求方阵B 345

题型2.5.6.5 计算相似矩阵的高次幂（详见2.2.4 节） 345

2.6 二次型 346

2.6.1 求二次型的矩阵及其秩 346

题型2.6.1.1 用矩阵形式表示二次型 346

题型2.6.1.2 求二次型的秩 347

2.6.2 化标准形及由标准形确定二次型 348

题型2.6.2.1 化二次型为标准形、规范形 348

题型2.6.2.2 将实对称矩阵合同对角化 354

题型2.6.2.3 由二次型的标准形确定该二次型 356

2.6.3 判别（证明）实二次型（实对称矩阵）的正定性 356

题型2.6.3.1 判别或证明具体给定的二次型或其矩阵的正定性 357

题型2.6.3.2 判别或证明抽象的二次型（实对称矩阵）的正定性 357

题型2.6.3.3 确定参数值或其取值范围使二次型或其矩阵正定 360

2.6.4 判别两矩阵是否合同 361

题型2.6.4.1 判别（证明）两实对称矩阵合同 361

题型2.6.4.2 判别（证明）两矩阵不合同 363

2.6.5 讨论矩阵等价、相似及合同的关系 363

第3篇 概率论与数理统计 366

3.1 随机事件和概率 366

3.1.1 随机事件间的关系及其运算 366

题型3.1.1.1 描绘随机试验的样本空间 366

题型3.1.1.2 用式子表示事件关系 366

题型3.1.1.3 利用事件运算的性质或图示法简化事件算式 367

题型3.1.1.4 求满足一定条件的事件关系 367

3.1.2 直接计算随机事件的概率 368

题型3.1.2.1 计算古典型概率 368

题型3.1.2.2 计算几何型概率 370

题型3.1.2.3 计算伯努利概型中事件的概率 371

3.1.3 间接计算随机事件的概率 372

题型3.1.3.1 计算和、差、积事件的概率 372

题型3.1.3.2 求与包含关系有关的事件的概率 375

题型3.1.3.3 计算与互斥事件有关的事件的概率 375

题型3.1.3.4 求与条件概率有关的事件的概率 376

题型3.1.3.5 求与他事件有关的单个事件的概率 376

题型3.1.3.6 判别或证明事件概率不等式 377

3.1.4 几个计算概率公式的实际应用 377

题型3.1.4.1 用加法公式求解实际应用题 377

题型3.1.4.2 用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题 378

题型3.1.4.3 用全概率公式和逆概率（贝叶斯）公式求解实际应用题 379

题型3.1.4.4 利用抽签原理计算事件概率 382

3.1.5 判别事件的独立性 382

题型3.1.5.1 判别（证明）两事件相互独立 382

题型3.1.5.2 判别（证明）n（n＞2）个事件相互独立 384

3.2 一维随机变量及其分布 386

3.2.1 分布列、概率密度及分布函数性质的应用 386

题型3.2.1.1 判别分布列、概率密度及分布函数 387

题型3.2.1.2 利用分布的性质，确定待定常数或所满足的条件 389

题型3.2.1.3 求随机变量落在某点或某区间上的概率 390

3.2.2 求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数 391

题型3.2.2.1 求概率分布（分布律）及分布函数 391

题型3.2.2.2 求连续型或混合型随机变量的分布函数或其取值 393

题型3.2.2.3 求概率密度 396

3.2.3 利用常用分布计算事件的概率 396

题型3.2.3.1 利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率 397

题型3.2.3.2 利用超几何分布计算事件的概率 399

题型3.2.3.3 利用几何分布计算事件的概率 399

题型3.2.3.4 利用泊松分布计算事件的概率 400

题型3.2.3.5 利用均匀分布计算事件的概率 401

题型3.2.3.6 利用指数分布计算事件的概率 401

题型3.2.3.7 利用正态分布计算事件的概率 403

题型3.2.3.8 利用相关分布与二项分布相结合计算事件的概率 406

3.2.4 求随机变量函数的分布 407

题型3.2.4.1 求离散型随机变量函数的概率分布 407

题型3.2.4.2 求连续型随机变量函数的分布 408

题型3.2.4.3 讨论随机变量函数分布的性质 412

3.3 二维随机变量的联合概率分布 413

3.3.1 求二维随机变量的分布 413

题型3.1.1.1 求二维离散型随机变量的联合分布律 413

题型3.3.1.2 求二维随机变量的边缘分布 417

题型3.3.1.3 由联合分布、边缘分布求条件分布 420

题型3.3.1.4 由条件分布反求联合分布、边缘分布 423

题型3.3.1.5 已知分区域定义的联合密度，求其分布函数 424

3.3.2 随机变量的独立性 425

题型3.3.2.1 判别两随机变量的独立性 425

题型3.3.2.2 利用独立性确定联合分布中的待定常数 430

3.3.3 计算二维随机变量取值的概率 431

题型3.3.3.1 计算两离散型随机变量运算后取值的概率 431

题型3.3.3.2 求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率 432

题型3.3.3.3 求与max（X,Y）或（和）min（X,Y）有关的概率 433

题型3.3.3.4 求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率 434

题型3.3.3.5 已知系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率，反求该随机变量的分布 434

3.3.4 求二维随机变量函数的分布 434

题型3.3.4.1 已知（X,Y）的联合分布律，求Z=g（X,Y）的分布律 434

题型3.3.4.2 求两连续型随机变量的简单函数的分布 436

题型3.3.4.3 求分布连续型和离散型的两随机变量的简单函数的分布 440

题型3.3.4.4 已知X,Y的分布，求max（X,Y）与min（X,Y）的分布 441

3.4 随机变量的数字特征 443

3.4.1 求一维随机变量的数字特征 443

题型3.4.1.1 求随机变量的数学期望与方差 443

题型3.4.1.2 求随机变量函数的数学期望与方差 448

题型3.4.1.3 计算随机变量的矩 451

3.4.2 求二维随机变量的数字特征 451

题型3.4.2.1 求（X,Y）的函数g（X,Y）的数学期望和方差 451

题型3.4.2.2 计算协方差和相关系数 456

3.4.3 计算两类分布的数字特征 464

题型3.4.3.1 计算二维正态分布的数字特征 464

题型3.4.3.2 计算Z=max（X,Y）或（和）W=min（X,Y）的数字特征 465

3.4.4 讨论随机变量相关性与独立性的关系 468

题型3.4.4.1 确定两随机变量相关与不相关 468

题型3.4.4.2 讨论相关性与独立性的关系 469

3.4.5 已知数字特征，求分布中的待定常数 470

3.4.6 求解两类综合应用题型 471

题型3.4.6.1 求解与数字特征有关的实际应用题 471

题型3.4.6.2 求解概率论与其他数学分支的综合应用题 473

3.5 大数定律和中心极限定理 476

3.5.1 用切比雪夫不等式估计事件的概率 476

3.5.2 大数定律成立的条件和结论 478

题型3.5.2.1 利用三个大数定律成立的条件解题 480

题型3.5.2.2 求随机变量序列依概率的收敛值 482

3.5.3 两个中心极限定理的简单应用 483

题型3.5.3.1 利用棣莫弗-拉普拉斯定理近似计算事件的概率 483

题型3.5.3.2 已知随机变量取值的概率，估计取值范围 484

题型3.5.3.3 应用列维-林德伯格中心极限定理的条件和结论解题 485

题型3.5.3.4 近似计算n个随机变量之和取值的概率 486

题型3.5.3.5 已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n 487

3.6 数理统计初步 488

3.6.1 求解统计量分布有关的问题 488

题型3.6.1.1 求解与统计量分布有关的基本概念问题 488

题型3.6.1.2 求统计量的分布及其分布参数 490

题型3.6.1.3 求统计量取值的概率 495

题型3.6.1.4 已知统计量取值的概率，反求取值范围 497

题型3.6.1.5 求统计量的数字特征 498

题型3.6.1.6 求经验分布函数 500

3.6.2 参数估计 501

题型3.6.2.1 求总体分布中未知参数的矩估计量（值） 501

题型3.6.2.2 求未知参数的极（最）大似然估计量（值） 505