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第1章 集合与集合的运算结构 1

1.1 集合及其运算 1

1.1.1 集合 2

1.1.2 集合的运算 3

1.1.3 集合之间的映射 4

1.2 集合的运算结构 7

1.2.1 群、环、域、线性空间 7

1.2.2 群论初步、几种重要的群 13

1.2.3 子群、积群、商群 20

习题1 24

第2章 线性空间与线性变换 26

2.1 线性空间 27

2.1.1 线性空间的实例 27

2.1.2 线性空间的基 28

2.1.3 线性空间的子空间、积空间、直和空间、商空间 32

2.1.4 内积空间 35

2.1.5 对偶空间 36

2.1.6 线性空间的结构 41

2.2 线性变换 48

2.2.1 线性算子空间 48

2.2.2 线性算子的共轭算子 52

2.2.3 多重线性代数 59

习题2 67

第3章 点集拓扑的基本知识 69

3.1 度量空间、赋范线性空间 70

3.1.1 度量空间 70

3.1.2 赋范线性空间 72

3.2 拓扑空间 73

3.2.1 拓扑空间中的一些定义 73

3.2.2 拓扑空间的初步分类 78

3.3 拓扑空间上的连续映射 82

3.3.1 拓扑空间之间的映射、映射的连续性 82

3.3.2 拓扑空间的子空间、积空间、商空间 86

3.4 拓扑空间的重要性质 91

3.4.1 拓扑空间的分离性 91

3.4.2 拓扑空间的连通性 96

3.4.3 拓扑空间的紧性 99

3.4.4 拓扑线性空间 109

习题3 109

第4章 泛函分析基础 112

4.1 度量空间理论 113

4.1.1 度量空间的完备化 113

4.1.2 度量空间中的紧性 126

4.1.3 Banach空间的基 130

4.1.4 Hilbert空间的直交系与直交展开 135

4.2 算子理论 142

4.2.1 Banach空间上的线性算子 142

4.2.2 有界线性算子的谱理论 158

4.3 线性泛函理论 166

4.3.1 赋范线性空间上的线性泛函 166

4.3.2 Hilbert空间上的线性泛函 176

习题4 179

第5章 分布理论 182

5.1 Schwartz空间、Schwartz分布空间 182

5.1.1 Schwartz空间 182

5.1.2 Schwartz分布空间 184

5.1.3 空间E（Rn）、D（Rn）及其分布空间 188

5.2 Lp（R）（1≤p≤2）上的Fourier变换 190

5.2.1 L1（R）上的Fourier变换 190

5.2.2 L2（R）上的Fourier变换 194

5.2.3 Lp（R）（1＜p＜2）上的Fourier变换 197

5.3 Schwartz分布的Fourier变换 202

5.3.1 Schwartz函数的Fourier变换 202

5.3.2 Schwartz分布的Fourier变换 206

5.3.3 具紧致支集的Schwartz分布 209

5.3.4 Schwartz分布的卷积与Fourier变换 211

5.4 小波分析 218

5.4.1 小波变换的引入 218

5.4.2 连续小波变换 220

5.4.3 离散小波变换 224

5.4.4 小波变换应用概述 226

习题5 233

第6章 流形上的微积分 235

6.1 基本概念 236

6.1.1 微分流形结构 236

6.1.2 余切空间、切空间 242

6.1.3 子流形 258

6.2 外代数 266

6.2.1 （r,s）型张量、（r,s）型张量空间 266

6.2.2 张量代数 272

6.2.3 Grassmann代数 277

6.3 外微分 280

6.3.1 张量丛、矢量丛 280

6.3.2 外微分式的外微分 286

6.4 外微分式的积分 296

6.4.1 光滑流形的定向 296

6.4.2 外微分式在定向光滑流形上的积分 299

6.4.3 Stokes公式 303

6.5 Riemann流形、数学科学与现代物理 311

6.5.1 Riemann流形 311

6.5.2 连络 314

6.5.3 Lie群与活动标架法 324

6.5.4 数学科学与现代物理学 327

习题6 329

第7章 补充知识 331

7.1 变分方法 331

7.1.1 变分与变分问题 331

7.1.2 变分原理 337

7.1.3 更一般的变分问题 338

7.2 Banach空间中的几个重要定理 340

7.2.1 Stone-Weierstrass定理 340

7.2.2 隐映射定理、逆映射定理 343

7.2.3 不动点原理 343

7.3 局部紧群上的Haar积分 344

习题7 347

参考文献 348