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第1章 函数 1

1.1 实数 1

1.1.1 从有理数到实数 1

1.1.2 实数的性质——连续性 2

1.1.3 绝对值、区间和邻域 3

习题1.1 4

1.2 函数 5

1.2.1 集合映射与函数的概念 5

1.2.2 函数的表示法 6

1.2.3 函数的几种特性 8

1.2.4 函数的复合 9

1.2.5 初等函数 10

习题1.2 12

综合练习一 12

第2章 函数的极限 连续函数 15

2.1 数列的极限 15

2.1.1 从“割圆术”谈起——数列极限 15

2.1.2 数列 15

2.1.3 数列极限 16

习题2.1 17

2.2 函数的极限 18

2.2.1 当x→x0时函数f（x）的极限 18

2.2.2 当x→∞时函数f（x）的极限 20

2.2.3 函数极限的定量描述 21

2.2.4 函数极限的性质 23

习题2.2 23

2.3 极限的四则运算法则 24

习题2.3 26

2.4 两个极限存在性判定准则 两个重要极限公式 26

2.4.1 两个极限存在性判定准则 26

2.4.2 一个重要极限 26

2.4.3 与自然生长有关的极限公式 29

习题2.4 31

2.5 无穷小与无穷大 32

2.5.1 无穷小 32

2.5.2 无穷大 33

2.5.3 无穷小的比较 33

习题2.5 35

2.6 连续函数 36

2.6.1 连续函数的概念 36

2.6.2 初等函数的连续性 39

2.6.3 闭区间上连续函数的性质 41

习题2.6 41

综合练习二 42

第3章 一元函数微分学 44

3.1 导数 44

3.1.1 两个例题 44

3.1.2 导数的概念 45

3.1.3 导数的几何意义、物理意义 48

3.1.4 连续性与可导性的关系 48

习题3.1 50

3.2 导数的基本公式和求导法则 51

3.2.1 基本初等函数的导数 51

3.2.2 导数的四则运算 52

3.2.3 复合函数求导法 54

3.2.4 隐函数求导法 56

习题3.2 58

3.3 微分 59

3.3.1 微分的概念及运算 59

3.3.2 参数方程表示的函数的微分法 63

3.3.3 微分的应用 64

习题3.3 66

3.4 高阶导数 67

3.4.1 y＝f（x）的高阶导数的求法 68

3.4.2 隐函数的二阶导数 69

3.4.3 参数方程表示的函数的二阶导数 70

习题3.4 71

综合练习三 72

第4章 中值定理及导数的应用 74

4.1 中值定理 74

4.1.1 罗尔（Rolle）定理 74

4.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 75

4.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 77

习题4.1 77

4.2 洛必达（L′Hospital）法则 78

习题4.2 81

4.3 函数的单调性 82

习题4.3 84

4.4 函数的极值与最值 84

4.4.1 函数的极值 84

4.4.2 最大值与最小值 88

4.4.3 经济应用举例 90

习题4.4 92

4.5 边际分析与弹性分析简介 93

4.5.1 边际分析 93

4.5.2 弹性分析 94

习题4.5 95

4.6 函数的凸性和曲线的拐点、渐近线 96

4.6.1 函数的凸性和曲线的拐点 96

4.6.2 渐近线 98

习题4.6 99

4.7 函数图像的描绘 100

习题4.7 102

综合练习四 102

第5章 一元函数积分学 105

5.1 原函数与不定积分 105

5.1.1 函数的原函数与不定积分 105

5.1.2 基本积分公式 107

5.1.3 不定积分的性质 108

习题5.1 109

5.2 换元积分法 110

5.2.1 第一类换元积分法 110

5.2.2 第二类换元积分法 113

习题5.2 116

5.3 分部积分法 117

习题5.3 121

5.4 定积分的概念与性质 122

5.4.1 两个实例——曲边梯形的面积与变速直线运动的路程 122

5.4.2 定积分的定义 125

5.4.3 定积分的几何意义 126

5.4.4 定积分的性质 126

习题5.4 130

5.5 微积分基本公式 131

5.5.1 变上限的定积分 131

5.5.2 微积分基本公式 132

习题5.5 134

5.6 定积分的换元法 134

习题5.6 136

5.7 定积分的分部积分法 136

习题5.7 139

5.8 反常积分 139

5.8.1 无穷区间上的反常积分 139

5.8.2 无界函数的反常积分 140

习题5.8 142

5.9 定积分的应用 142

5.9.1 微元法 142

5.9.2 定积分在几何上的应用——面积、体积、弧长 143

5.9.3 定积分在物理上的应用 149

习题5.9 151

综合练习五 152

第6章 无穷级数 155

6.1 数项级数的概念及性质 155

6.1.1 无穷级数的敛散性 155

6.1.2 无穷级数的基本性质 157

习题6.1 160

6.2 正项级数 160

6.2.1 正项级数的比较判别法 160

6.2.2 正项级数的比值判别法 163

习题6.2 165

6.3 任意项级数 166

6.3.1 交错级数及其敛散判别法 166

6.3.2 绝对收敛与条件收敛 168

习题6.3 170

6.4 幂级数 170

6.4.1 幂级数的概念及收敛域 170

6.4.2 幂级数的性质 175

6.4.3 函数展开成幂级数 179

习题6.4 184

综合练习六 185

第7章 常微分方程 187

7.1 常微分方程的基本概念 187

习题7.1 189

7.2 一阶微分方程 190

7.2.1 可分离变量的微分方程 190

7.2.2 齐次方程 191

7.2.3 一阶线性微分方程 194

习题7.2 198

7.3 二阶微分方程 198

7.3.1 可降阶的二阶微分方程 198

7.3.2 二阶线性微分方程解的结构 201

7.3.3 二阶常系数齐次线性微分方程 202

7.3.4 二阶常系数非齐次线性微分方程 204

7.3.5 常系数线性微分方程组举例 211

习题7.3 212

综合练习七 213

第8章 空间解析几何与向量代数 216

8.1 空间直角坐标系 216

8.1.1 空间直角坐标系 216

8.1.2 空间两点间的距离 218

习题8.1 219

8.2 向量代数 219

8.2.1 向量及其加减法 向量与数的乘法 219

8.2.2 向量的坐标 223

8.2.3 向量的数量积 向量积 226

习题8.2 231

8.3 平面与空间直线 231

8.3.1 平面及其方程 231

8.3.2 空间直线及其方程 235

习题8.3 239

8.4 曲面及其方程简介 240

8.4.1 空间曲面与三个变量的方程F（x，y，z）＝0的对应关系 240

8.4.2 柱面方程 240

习题8.4 242

综合练习八 242

第9章 多元函数微分学 245

9.1 二元函数的极限及连续性 245

9.1.1 区域 245

9.1.2 二元函数 247

9.1.3 二元函数的极限 247

9.1.4 二元函数的连续性 249

习题9.1 250

9.2 偏导数 250

9.2.1 偏导数的概念 250

9.2.2 高阶偏导数 253

习题9.2 254

9.3 全微分 255

9.3.1 全微分的概念 255

9.3.2 全微分在近似计算中的应用 257

习题9.3 258

9.4 多元复合函数的微分法 258

9.4.1 多元复合函数的求导法则 258

9.4.2 复合函数的全微分 261

习题9.4 262

9.5 隐函数的微分法 262

习题9.5 264

9.6 多元函数的极值 264

9.6.1 多元函数的极值及最大值、最小值 264

9.6.2 条件极值拉格朗日乘数法 266

9.6.3 最小二乘法 269

习题9.6 272

综合练习九 272

第10章 二重积分 274

10.1 二重积分的概念与性质 274

10.1.1 两个典型问题 274

10.1.2 二重积分的定义 276

10.1.3 二重积分的性质 277

习题10.1 278

10.2 二重积分的计算 279

10.2.1 在直角坐标系下计算二重积分 279

10.2.2 在极坐标系下计算二重积分 285

习题10.2 289

10.3 二重积分的应用 290

10.3.1 体积 290

10.3.2 曲面的面积 291

10.3.3 平面薄片的重心 293

习题10.3 294

综合练习十 294

附录一 常用的初等数学公式 297

附录二 积分表（节选） 301

习题参考答案 308