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第1章 对变化进行建模 1

例1 测试比例性 1

1.1 用差分方程对变化进行建模 3

例1 储蓄存单 3

例2 抵押贷款买房 4

1.2 用差分方程近似描述变化 6

例1 酵母培养物的增长 7

例2 再论酵母培养物的增长 7

例3 接触性传染病的传播 9

例4 血流中地高辛的衰减 10

例5 冷冻物体的加热 10

1.3 动力系统的解法 13

例1 再论储蓄存单 13

例2 污水处理 15

例3 地高辛处方 18

例4 投资年金 18

例5 活期储蓄账户 20

例6 再论投资年金 22

1.4 差分方程组 26

例1 汽车租赁公司 26

例2 特拉法尔加战斗 28

例3 竞争猎兽模型——斑点猫头鹰和隼 31

例4 一个支线机场的旅客趋势 34

例5 离散流行病模型 37

第2章 建模过程、比例性和几何相似性 43

2.1 数学模型 44

例1 车辆的停止距离 48

2.2 利用比例性进行建模 52

例1 开普勒第三定律 53

2.3 利用几何相似性进行建模 60

例1 从不动的云层落下的雨滴 61

例2 钓鱼比赛中的建模 62

例3 “骇鸟”尺寸的建模 65

2.4 汽车的汽油里程 70

2.5 体重和身高、力量和灵活性 73

第3章 模型拟合 77

3.1 用图形为数据拟合模型 79

3.2 模型拟合的解析方法 83

3.3 应用最小二乘准则 88

3.4 选择一个好模型 92

例1 车辆的停止距离 94

例2 比较准则 96

第4章 实验建模 99

4.1 Chesapeake海湾的收成和其他的单项模型 99

例1 收获蓝鱼 102

例2 收获蓝蟹 102

4.2 高阶多项式模型 107

例1 带式录音机的播放时间 108

4.3 光滑化：低阶多项式模型 113

例1 再论带式录音机的播放时间 113

例2 再论带式录音机的播放时间 116

例3 车辆的停止距离 117

例4 酵母培养物的增长 119

4.4 三阶样条模型 122

例1 再论车辆的停止距离 128

第5章 模拟方法建模 134

5.1 确定行为的模拟：曲线下的面积 135

5.2 随机数的生成 138

5.3 随机行为的模拟 141

5.4 存储模型：汽油与消费需求 147

5.5 排队模型 154

例1 港口系统 154

例2 早高峰时间 160

第6章 离散概率模型 163

6.1 离散系统的概率模型 163

例1 再论汽车租赁公司 163

例2 投票趋势 164

6.2 部件和系统可靠性建模 167

例1 串联系统 167

例2 并联系统 168

例3 串并联组合系统 168

6.3 线性回归 170

例1 美国黄松 171

例2 再论钓鱼比赛 172

第7章 离散模型的优化 175

7.1 优化建模概述 175

例1 确定生产计划方案 176

例2 航天飞机的载货问题 178

例3 分段线性函数逼近 178

7.2 线性规划（一）：几何解法 184

例1 木匠问题 184

例2 数据拟合问题 186

7.3 线性规划（二）：代数解法 190

例1 木匠问题的代数解法 191

7.4 线性规划（三）：单纯形法 193

例1 再论木匠问题 196

例2 使用单纯形表 199

7.5 线性规划（四）：敏感性分析 200

7.6 数值搜索方法 205

例1 二分搜索方法 207

例2 黄金分割搜索方法 209

例3 再论模型拟合准则 210

例4 工业流程优化 211

第8章 图论建模 214

8.1 作为模型的图 214

8.2 图的描述 220

8.3 图模型 221

8.4 利用图模型来解问题 232

例1 求解最短路径问题 232

例2 求解最大流问题 234

8.5 与数学规划的联系 239

例1 顶点覆盖 239

例2 最大流 241

第9章 决策论建模 244

9.1 概率和期望值 245

例1 掷骰子 247

例2 人寿保险 247

例3 轮盘赌 247

例4 改建现有的高尔夫球场还是建造新的高尔夫球场 247

例5 再论改建现有的高尔夫球场还是建造新的高尔夫球场 248

9.2 决策树 249

例1 建造新的高尔夫球场还是改建现有的高尔夫球场 249

例2 再论Hardware＆Lumber公司的决策 252

例3 地方电视台 252

9.3 序列决策和条件概率 255

例1 拉斯维加斯赌场轮盘赌 255

例2 再论拉斯维加斯赌场轮盘赌 257

例3 再论Hardware＆Lumber公司序列决策 258

9.4 利用各种准则的决策 262

例1 投资与状态 263

例2 投资策略 265

第10章 博弈论 270

10.1 博弈论：完全冲突 270

例1 一个有纯策略的完全冲突博弈 270

例2 一个有混合策略的完全冲突博弈：投球手和击球手的较量 272

例3 一个部分冲突的博弈：囚徒困境 273

10.2 完全冲突博弈的线性规划模型：纯策略与混合策略 276

例1 投球手和击球手的较量 276

例2 再论Home Depot和Ace五金店的位置 288

10.3 再论决策论：与大自然的博弈 291

例1 一个制造企业与经济 291

例2 再论投资策略 295

10.4 确定纯策略解的其他方法 297

10.5 2×2完全冲突博弈的其他简便解法 303

例1 让击球手和投球手较量中的期望值相等 304

例2 击球手和投球手的零头法 306

10.6 部分冲突博弈：经典的两人博弈 308

例1 没有交流的囚徒困境 310

例2 威胁与承诺的组合 313

10.7 建模例子 317

例1 Bismarck海战 317

例2 足球中的罚点球 319

例3 再论击球手和投球手的较量 320

例4 古巴导弹危机 323

例5 2007～2008年的编剧协会罢工事件 326

第11章 用微分方程建模 331

11.1 人口增长 333

11.2 对药剂量开处方 340

11.3 再论刹车距离 346

11.4 自治微分方程的图形解 348

例1 画相直线及解曲线的草图 349

例2 汤的冷却 351

例3 再论逻辑斯谛增长 352

11.5 数值近似方法 353

例1 欧拉法的运用 355

例2 再论储蓄存单 356

11.6 分离变量法 359

例1 360

例2 361

例3 361

例4 362

例5 362

例6 363

例7 363

例8 363

例9 再论牛顿冷却定律 364

例10 再论资源有限的人口增长 365

11.7 线性方程 367

例1 371

例2 372

例3 372

例4 水污染 373

第12章 用微分方程组建模 376

12.1 一阶自治微分方程组的图形解 376

例1 线性自治微分方程组 377

例2 非线性自治微分方程组 378

12.2 竞争捕猎模型 380

12.3 捕食者-食饵模型 386

12.4 两个军事方面的例子 392

例1 Lanchester战斗模型 392

例2 军备竞赛的经济方面 397

12.5 微分方程组的欧拉方法 401

例1 方程组的欧拉方法应用 401

例2 轨线和解曲线 402

例3 连续的SIR传染病模型 404

第13章 连续模型的优化 408

13.1 库存问题：送货费用和储存费用最小化 408

13.2 多变量函数的优化方法 415

例1 竞争性产品生产中的利润最大化 415

例2 非线性最小二乘 419

13.3 连续约束优化 421

例1 石油转运公司 421

例2 航天飞机的水箱 423

13.4 可再生资源的管理：渔业 424

附录A 美国大学生数学建模竞赛试题（1985～2012） 431

部分习题答案 462