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第0章 开启篇 1

0.1矩阵初步 1

0.1.1矩阵的概念 1

0.1.2矩阵的线性运算 2

0.1.3矩阵的转置 3

习题0.1 4

0.2用矩阵消元法求解线性方程组 5

0.2.1矩阵的初等变换 5

一、线性方程组与矩阵 5

二、初等变换 5

0.2.2矩阵消元法 11

习题0.2 11

第1章 方阵的行列式 12

1.1行列式的定义 12

1.1.1 2阶行列式 12

1.1.2 3阶行列式 12

1.1.3 n阶排列 14

1.1.4 n阶行列式 16

习题1.1 19

1.2行列式的拉普拉斯展开 21

1.2.1代数余子式 21

1.2.2按多行（列）展开公式 23

1.2.3按一行（列）展开公式 26

习题1.2 29

1.3行列式的性质与计算 31

1.3.1行列式的性质 31

1.3.2行列式的计算 33

一、完全展开法 33

二、分拆法 33

三、归零法 34

四、化三角形法 34

五、范德蒙法 37

六、降阶法 40

七、递推公式法 41

八、分块法 42

习题1.3 43

1.4克拉默法则 45

1.4.1克拉默法则 45

1.4.2插值多项式 49

习题1.4 51

第2章 矩阵 52

2.1矩阵的乘法 52

2.1.1乘法的定义 52

2.1.2运算律 54

2.1.3方阵乘法专题 56

一、方阵的幂 56

二、方阵的多项式 58

三、可交换矩阵 61

四、方阵乘积的行列式 62

五、方阵的迹 64

2.1.4矩阵的分块方法 64

一、分块矩阵 64

二、运算与分块 65

三、典型分块 67

2.1.5运用基本向量的方法 69

2.1.6初等变换与乘法 72

习题2.1 75

2.2可逆矩阵 77

2.2.1可逆矩阵的定义 77

2.2.2可逆矩阵的判定·求逆法 77

一、行列式法 77

二、分离因子法 79

三、观察法 81

四、性质法 81

五、初等变换法 83

六、分块法 87

七、分块初等变换法 89

习题2.2 97

2.3矩阵的秩 99

2.3.1秩的定义 99

2.3.2秩的计算 100

2.3.3相抵标准形 101

2.3.4秩的关系式 104

习题2.3 115

第3章n元向量 116

3.1向量组的线性相关性 116

3.1.1线性组合与线性表示 116

3.1.2线性相关与线性无关 118

3.1.3极大无关组与秩 123

习题3.1 129

3.2 n元向量空间 131

3.2.1 n元向量空间及其子空间 131

3.2.2维数·基与坐标 133

习题3.2 138

3.3内积空间 139

3.3.1内积 139

3.3.2施密特正交化 140

3.3.3正交矩阵 144

一、正交矩阵的定义 144

二、正交矩阵的性质 145

三、正交矩阵的判定 145

四、实可逆矩阵的QR分解 147

习题3.3 150

第4章 线性方程组 151

4.1线性方程组的求解 151

4.1.1线性方程组的相关术语 151

4.1.2线性方程组的解的情况 152

习题4.1 159

4.2线性方程组的解的结构 160

4.2.1齐次线性方程组的解的结构 160

一、解的性质 160

二、解的结构 160

4.2.2非齐次线性方程组的解的结构 169

一、解的性质 169

二、解的结构 169

习题4.2 173

第5章 特征值与特征向量 174

5.1方阵的相似关系 174

5.1.1相似关系的概念 174

5.1.2相似关系的性质 175

5.1.3正交相似关系 177

一、正交相似关系的概念 177

二、方阵的相合关系 178

三、正交相似关系的性质 179

四、正交相似标准形简介 180

习题5.1 181

5.2方阵的特征值与特征向量 182

5.2.1多项式方程的根 182

一、复数简述 182

二、求根公式 183

三、实系数多项式方程的根 186

四、整系数多项式方程的整数根 187

5.2.2特征值与特征向量的概念 188

5.2.3特征值与特征向量的计算 189

5.2.4特征值与特征向量的性质 196

习题5.2 211

5.3对角化问题 213

5.3.1相似对角化 213

5.3.2对角化条件 213

5.3.3对角化计算 222

5.3.4对角化应用 223

一、求可对角化方阵的幂 223

二、由数列的线性递推公式求通项公式 224

三、求解n×n齐次线性微分方程组 226

5.3.5相似标准形简介 228

习题5.3 231

5.4实对称矩阵 233

5.4.1实对称矩阵的特征值与特征向量 233

5.4.2正交相似对角化 235

5.4.3实对称矩阵的开方 242

习题5.4 244

第6章 实二次型 246

6.1实二次型·实对称矩阵 246

6.1.1实二次型及其矩阵形式 246

6.1.2可逆线性替换 247

习题6.1 248

6.2实二次型的标准形 249

6.2.1化实二次型为标准形 249

一、正交线性替换法 249

二、配方法 252

三、初等变换法 254

6.2.2规范形 257

6.2.3有心二次曲面的标准方程 259

习题6.2 263

6.3正定二次型·正定矩阵 265

6.3.1正定的概念 265

6.3.2正定的判别 266

一、正惯性指数法 266

二、特征值法 268

三、算术平方根法 270

四、分块法 271

五、顺序主子式法 273

六、其他方法 275

6.3.3其他类别的实二次型与实对称矩阵 277

习题6.3 280