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第1章 谜题与微积分 1

1.1 迷宫与解析几何 2

1.1.1 迷宫与坐标 2

1.1.2 向量与空间直角坐标系 5

1.1.3 曲面、曲线的方程 7

习题1.1 11

1.2 理发师悖论与集合论 12

1.2.1 集合的概念 12

1.2.2 集合的运算 15

1.2.3 集合论的完善 16

习题1.2 17

1.3 谜语与函数 18

1.3.1 函数的发展历程 18

1.3.2 函数的基本概念 21

1.3.3 函数的几种特性 23

1.3.4 函数的运算 25

1.3.5 初等函数 27

习题1.3 30

1.4 芝诺悖论与极限萌芽 31

1.5 四色问题与数学方法 34

第2章 极限与连续 37

2.1 函数的极限 38

2.1.1 函数极限的定义 38

2.1.2 极限法则 44

习题2.1 47

2.2 无穷小与无穷大 49

2.2.1 定义与性质 49

2.2.2 无穷小的比较 52

习题2.2 54

2.3 连续性 54

2.3.1 连续的定义及性质 55

2.3.2 闭区间连续函数的性质 58

习题2.3 60

2.4 数列与级数 61

2.4.1 数列极限的定义 62

2.4.2 级数 68

习题2.4 70

2.5 级数的审敛法 71

2.5.1 正项级数 72

2.5.2 交错级数 75

2.5.3 幂级数 77

习题2.5 80

第2章 测试题 81

第3章 导数 85

3.1 导数概念 86

3.1.1 函数的变化率 86

3.1.2 导数的定义 88

3.1.3 可导的条件 91

习题3.1 93

3.2 求导法则 94

3.2.1 求导法则 95

3.2.2 高阶导数 100

习题3.2 101

3.3 微分 103

3.3.1 微分的定义 104

3.3.2 可微的条件 104

习题3.3 108

第3章 测试题 109

第4章 导数的应用 113

4.1 微分中值定理 114

4.1.1 中值定理 115

4.1.2 洛必达法则 117

习题4.1 120

4.2 单调性与凹凸性 121

4.2.1 函数的单调性 122

4.2.2 曲线的凹凸性 125

4.2.3 曲率 128

习题4.2 129

4.3 极值与最值 129

4.3.1 函数的极值 130

4.3.2 函数的最大值与最小值 134

习题4.3 136

4.4 泰勒公式 137

习题4.4 143

第4章 测试题 143

第5章 不定积分 146

5.1 不定积分 147

5.1.1 原函数 147

5.1.2 不定积分的概念 148

5.1.3 基本积分公式 150

习题5.1 151

5.2 不定积分的计算方法 152

5.2.1 不定积分的线性性质 152

5.2.2 分部积分法 153

5.2.3 换元法 155

习题5.2 158

5.3 简单的微分方程 159

5.3.1 微分方程的基本概念 159

5.3.2 常用的一阶微分方程 161

习题5.3 164

第5章 测试题 166

第6章 定积分 168

6.1 定积分 169

6.1.1 曲边梯形的面积 169

6.1.2 定积分定义 171

6.1.3 微积分基本定理 172

习题6.1 176

6.2 定积分的应用 178

6.2.1 面积 178

6.2.2 已知截面面积的立体体积 180

6.2.3 弧长 181

6.2.4 量的积累 182

6.2.5 平均值 182

习题6.2 183

6.3 反常积分 184

6.3.1 无穷限反常积分 185

6.3.2 瑕积分 187

习题6.3 189

6.4 傅里叶级数 189

习题6.4 195

第6章 测试题 196

习题答案与提示 200