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第1章 行列式 1

1.1 行列式的定义 1

1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式 1

1.1.2 三元线性方程组与三阶行列式 2

1.1.3 n阶行列式的定义 5

习题1.1 6

1.2 行列式的性质及其计算 7

1.2.1 行列式的性质 7

1.2.2 行列式的计算 12

习题1.2 18

1.3 拉普拉斯定理与克拉默法则 22

1.3.1 拉普拉斯定理 22

1.3.2 克拉默法则 23

习题1.3 25

1.4 n阶行列式值的另一种定义 27

习题1.4 29

总习题1 30

第2章 矩阵 33

2.1 矩阵的概念 33

2.1.1 矩阵的概念 33

2.1.2 几种特殊的矩阵 36

习题2.1 37

2.2 矩阵的运算 37

2.2.1 矩阵的加法 37

2.2.2 数与矩阵的乘法 38

2.2.3 矩阵的乘法 38

2.2.4 矩阵的转置 41

2.2.5 行列式的乘法定理 42

习题2.2 44

2.3 矩阵的初等变换与秩 46

2.3.1 矩阵的初等变换 46

2.3.2 初等矩阵 47

2.3.3 矩阵的秩 48

习题2.3 52

2.4 逆矩阵 53

2.4.1 逆矩阵的概念 54

2.4.2 逆矩阵的性质 55

2.4.3 逆矩阵的求法 56

2.4.4 用逆矩阵解矩阵方程或方程组 60

习题2.4 60

2.5 分块矩阵 63

2.5.1 分块矩阵的加法与数乘 64

2.5.2 分块矩阵的乘法 64

2.5.3 分块矩阵的转置 66

2.5.4 分块对角阵 67

习题2.5 70

总习题2 71

第3章 线性方程组 75

3.1 消元法 75

3.1.1 线性方程组的初等变换 75

3.1.2 消元法 76

习题3.1 84

3.2 向量组及其线性相关性 85

3.2.1 向量组的线性相关性 86

3.2.2 向量组的秩 89

3.2.3 矩阵的行秩与列秩 90

习题3.2 93

3.3 线性方程组解的结构 94

3.3.1 齐次线性方程组解的结构 94

3.3.2 非齐次线性方程组解的结构 98

3.3.3 最小二乘解问题 100

习题3.3 102

3.4 n维实向量空间 103

3.4.1 n维实向量空间 103

3.4.2 子空间、基、维数与坐标 103

3.4.3 基变换与坐标变换 105

习题3.4 109

总习题3 109

第4章 矩阵的特征值与特征向量 112

4.1 特征值与特征向量 112

4.1.1 基本概念 113

4.1.2 计算矩阵的特征值和特征向量 113

4.1.3 矩阵特征值和特征向量的基本性质 117

习题4.1 120

4.2 相似矩阵 121

4.2.1 基本概念与性质 121

4.2.2 利用特征值与特征向量研究方阵的对角化 122

习题4.2 126

4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 127

4.3.1 向量的内积 127

4.3.2 正交向量组 128

4.3.3 向量组的标准正交化——施密特（Schmidt）正交化 129

4.3.4 实对称阵的特征值和特征向量 132

习题4.3 133

4.4 正交矩阵与实对称矩阵对角化 134

4.4.1 基本概念 135

4.4.2 基本性质 135

4.4.3 正交矩阵的判断 135

4.4.4 正交矩阵与实对称矩阵对角化 137

习题4.4 140

总习题4 141

第5章 二次型 144

5.1 二次型及其矩阵表示 144

5.1.1 二次型及其标准形 144

5.1.2 二次型的矩阵表示 145

5.1.3 合同变换与二次型的标准形 147

习题5.1 148

5.2 用正交变换化二次型为标准形 148

习题5.2 151

5.3 用满秩线性变换化二次型为标准形 151

5.3.1 初等变换法 152

5.3.2 配方法 155

5.3.3 惯性定律 156

习题5.3 159

5.4 正定二次型 159

5.4.1 正定二次型与正定矩阵 160

5.4.2 正定二次型的判定 160

习题5.4 164

总习题5 165

附录 MATLAB简介 167

习题参考答案 176

主要参考文献 204