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第1章 矩阵及其基本运算 1

1.1 线性方程组与矩阵 1

1.1.1 线性方程组及高斯消元法 1

1.1.2 矩阵的概念 3

习题1.1 8

1.2 矩阵的运算 9

1.2.1 矩阵的加法 9

1.2.2 矩阵的数乘 11

1.2.3 矩阵的乘法 12

1.2.4 矩阵的转置 17

习题1.2 18

1.3 可逆矩阵 20

1.3.1 可逆矩阵的概念 20

1.3.2 可逆矩阵的性质 22

习题1.3 23

1.4 分块矩阵 23

1.4.1 矩阵的分块 23

1.4.2 分块矩阵的运算性质 24

习题1.4 28

1.5 应用举例 29

1.5.1 矩阵在销售情况统计中的应用 29

1.5.2 矩阵在电路设计问题中的应用 30

1.5.3 邻接矩阵及其应用 32

第2章 矩阵的初等变换及方阵的行列式 34

2.1 矩阵的初等变换与初等矩阵 34

2.1.1 矩阵的初等变换 34

2.1.2 初等矩阵 38

2.1.3 用初等变换求矩阵的逆矩阵 40

习题2.1 42

2.2 矩阵的秩 43

2.2.1 引例 43

2.2.2 矩阵的标准形与矩阵的秩 45

2.2.3 矩阵秩的性质 47

习题2.2 48

2.3 方阵的行列式 49

2.3.1 二、三元线性方程组与二、三阶行列式 49

2.3.2 行列式的性质 55

2.3.3 行列式的计算 58

习题2.3 61

2.4 行列式的应用 63

2.4.1 利用行列式求矩阵的逆矩阵 63

2.4.2 行列式与矩阵的秩 65

2.4.3 克莱姆法则 66

习题2.4 68

2.5 应用举例 69

2.5.1 利用行列式求平行四边形的面积 69

2.5.2 行列式在经济上的应用 71

2.5.3 矩阵运算在密码学中的应用 71

第3章 线性方程组及向量的线性相关性 73

3.1 线性方程组有解的判定定理 73

3.1.1 线性方程组求解 73

3.1.2 线性方程组解的判定 77

习题3.1 78

3.2 向量的线性组合和线性表示 80

3.2.1 n维向量及其线性运算 80

3.2.2 向量的线性组合和线性表示 82

习题3.2 83

3.3 向量间的线性关系 84

3.3.1 线性相关性概念 84

3.3.2 线性相关性的判定 86

习题3.3 88

3.4 向量组的秩 89

3.4.1 极大线性无关组 89

3.4.2 向量组的秩 89

习题3.4 90

3.5 线性方程组解的结构 91

3.5.1 齐次线性方程组解的结构 91

3.5.2 非齐次线性方程组解的结构 93

习题3.5 95

3.6 应用举例 95

3.6.1 交通流量 95

3.6.2 市场占有率的稳态向量 97

3.6.3 阅读问题 98

第4章 相似矩阵 99

4.1 方阵的特征值与特征向量 99

4.1.1 方阵的特征值的定义 99

4.1.2 特征值、特征向量的基本性质 101

习题4.1 103

4.2 相似矩阵及矩阵对角化条件 104

4.2.1 相似矩阵的定义 104

4.2.2 相似矩阵的性质 105

4.2.3 方阵对角化 105

习题4.2 110

4.3 正交矩阵 110

4.3.1 向量的内积 111

4.3.2 正交向量组 112

4.3.3 正交矩阵 113

习题4.3 114

4.4 实对称矩阵的对角化 114

4.4.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 114

4.4.2 实对称矩阵的对角化 115

习题4.4 116

4.5 应用举例 117

4.5.1 色盲遗传模型 117

4.5.2 兔子与狐狸的生态模型 118

第5章 二次型 121

5.1 二次型的概念 121

5.1.1 二次型及其矩阵表示 121

5.1.2 二次型的标准形 122

习题5.1 123

5.2 实二次型的标准形 124

习题5.2 128

5.3 实二次型的正定性 128

5.3.1 正定二次型概念及其判断 128

5.3.2 正定矩阵及其判别 129

习题5.3 130

5.4 应用举例 131

5.4.1 多元函数极值 131

5.4.2 证明不等式 132

5.4.3 二次曲线 132

参考答案 134