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上篇 数学文化 3

第1章 数学概述 3

1.1 数学的定义与内容 3

1.1.1 数学的诸多定义 3

1.1.2 数学科学的内容 5

1.2 数学发展史概况 7

1.2.1 数学发源时期 7

1.2.2 初等数学时期 8

1.2.3 近代数学时期 10

1.2.4 现代数学时期 11

1.3 数学科学的特点与价值 11

1.3.1 数学科学的特点 11

1.3.2 数学科学的价值 14

1.4 数学与各学科的联系 20

1.4.1 数学与哲学 20

1.4.2 数学与科学 21

1.4.3 数学与艺术 22

思考题1 27

拓展阅读1 27

第2章 常用的数学思想与方法简介 30

2.1 公理化方法 30

2.1.1 公理化方法的产生和发展 30

2.1.2 公理系统构造的三性问题 32

2.1.3 公理化方法的意义和作用 33

2.2 类比法 34

2.3 归纳法与数学归纳法 36

2.3.1 归纳法 36

2.3.2 数学归纳法 38

2.4 数学构造法 39

2.5 化归法 42

2.5.1 特殊化与一般化 43

2.5.2 关系映射反演方法 44

2.6 数学模型方法 45

思考题2 48

拓展阅读2 49

第3章 三次数学危机 52

3.1 悖论举例 52

3.2 第一次数学危机 55

3.2.1 无理数与毕达哥拉斯悖论 55

3.2.2 第一次数学危机的解决 57

3.3 第二次数学危机 59

3.3.1 无穷小与贝克莱悖论 59

3.3.2 第二次数学危机的解决 61

3.4 第三次数学危机 62

3.4.1 集合论与罗素悖论 62

3.4.2 第三次数学危机的解决 63

3.5 数学的三大学派 65

3.5.1 逻辑主义学派 65

3.5.2 直觉主义学派 66

3.5.3 形式主义学派 66

思考题3 67

拓展阅读3 68

第4章 数学美学 70

4.1 数学与美学 70

4.1.1 数学美的概念 70

4.1.2 数学美的一般特征 71

4.2 数学美的内容 73

4.2.1 简洁美 74

4.2.2 对称美 75

4.2.3 和谐美 77

4.2.4 奇异美 79

4.3 数学美的地位和作用 83

思考题4 85

拓展阅读4 85

第5章 数学国际 88

5.1 世界数学中心及其变迁 88

5.2 国际数学组织与活动 91

5.2.1 国际数学联盟 91

5.2.2 国际数学家大会 92

5.3 国际数学大奖 94

5.3.1 菲尔兹奖——青年数学精英奖 94

5.3.2 沃尔夫奖——数学终身成就奖 96

5.3.3 其他数学奖 97

5.4 国际数学竞赛 99

5.4.1 国际数学奥林匹克竞赛 99

5.4.2 国际大学生数学建模竞赛 100

思考题5 100

拓展阅读5 101

第6章 数学的新进展之一——分形与混沌 104

6.1 分形几何学 104

6.1.1 海岸线的长度 104

6.1.2 柯克曲线及其他几何分形 106

6.1.3 分数维与分形几何 109

6.2 混沌动力学 112

6.2.1 洛伦兹的天气预报与混沌的概念 112

6.2.2 产生混沌的简单模型——移位映射 113

6.2.3 倍周期分支通向混沌——逻辑斯蒂映射 114

6.3 分形与混沌的应用及哲学思考 115

6.3.1 应用举例 115

6.3.2 哲学思考 117

思考题6 118

拓展阅读6 119

下篇 数学的应用 123

第7章 代数学应用专题 123

7.1 百鸡问题及其他——初等数论之应用 123

7.1.1 百鸡问题 123

7.1.2 同余的概念 123

7.1.3 物不知数 124

7.1.4 “物不知数”问题的解法 125

7.1.5 “百鸡问题”的解法 127

7.2 暗算之保密通信——数论及线性代数之应用 129

7.2.1 加密通信简介 129

7.2.2 公开密钥体制 130

7.2.3 RSA公钥方案的实施与实例 130

7.2.4 矩阵和行列式的概念 131

7.2.5 加密信息的矩阵传递 136

7.3 几何作图三大难题的解决——近世代数之应用 137

7.3.1 几何作图的三大难题 137

7.3.2 可构造数域与尺规作图 138

7.3.3 几何作图三大难题的解答 142

习题7 143

第8章 几何学应用专题 146

8.1 图形的美与实用——初等几何之应用 146

8.1.1 黄金分割的来源及应用实例 146

8.1.2 方圆合一的自然规则 149

8.1.3 多边形内角和与拼装技术 150

8.1.4 正多面体的种类及应用 150

8.2 远光灯、机械曲线——解析几何之应用 152

8.2.1 解析几何之圆锥曲线简介 152

8.2.2 圆锥曲线的应用 154

8.2.3 远光灯的原理解析 156

8.2.4 旋轮线（最速降线）的产生及应用 157

8.3 莫比乌斯带、迷宫及其他——拓扑学之应用 160

8.3.1 拓扑学概述 160

8.3.2 莫比乌斯带的性质及应用 161

8.3.3 迷宫的走法 162

8.3.4 拓扑学的应用举例 163

8.4 网络的最短路径——微分几何之应用 164

8.4.1 微分几何简介 164

8.4.2 不同寻常的最短路径 164

习题8 166

第9章 分析学应用专题 168

9.1 经济学中的边际效用——导数之应用 168

9.1.1 边际效用 168

9.1.2 函数 169

9.1.3 极限 173

9.1.4 导数 176

9.1.5 导数的应用 179

9.2 不规则平面图形的面积和旋转体的体积——积分之应用 182

9.2.1 问题的提出 182

9.2.2 不定积分 183

9.2.3 定积分 185

9.2.4 定积分的应用 188

9.3 音乐中的数学——级数的应用 192

9.3.1 简单声音的数学公式 193

9.3.2 音乐结构的数学本质 193

9.3.3 音乐性质的数学解释 195

9.3.4 数学分析在声音合成领域中的应用 195

9.4 刑侦学中的数学——微分方程之应用 196

9.4.1 微分方程简介 196

9.4.2 死亡时间的确定 197

9.4.3 血液中酒精浓度的测定 198

习题9 199

第10章 概率统计应用专题 201

10.1 直觉的误区——概率之应用 202

10.1.1 问题的提出 202

10.1.2 直觉的误区——古典概率 203

10.1.3 会面问题——几何概率 208

10.1.4 无序中的有序——统计概率 208

10.1.5 主观概率 210

10.2 正态分布——最自然的分布 211

10.2.1 随机变量及其概率分布 211

10.2.2 期望、方差和标准差 212

10.2.3 正态分布 213

10.2.4 百年灯泡存在的原因 215

10.2.5 医院床位紧缺问题的分析 216

10.3 预言美国总统选举结果——随机抽样之应用 217

10.3.1 统计学概述 217

10.3.2 抽样调查 218

10.3.3 美国总统选举前的民意测验 219

10.4 池塘里鱼的数量问题——最大似然估计之应用 221

10.4.1 由样本估计总体 221

10.4.2 最大似然估计法的原理 224

10.4.3 池塘里鱼的数量问题 225

10.5 医学中的药效问题——假设检验之应用 226

10.5.1 假设检验 226

10.5.2 药物检测 228

习题10 230

第11章 运筹学应用专题 233

11.1 对抗与合作——博弈论 233

11.1.1 博弈的含义 233

11.1.2 个人利益与集体利益的冲突——囚徒困境 236

11.1.3 搭便车——智猪博弈 240

11.1.4 狭路相逢勇者胜——懦夫博弈 242

11.1.5 双赢或双亏——情侣博弈和安全博弈 243

11.1.6 混合策略 244

11.1.7 动态博弈 249

11.2 资源的合理利用——规划论 252

11.2.1 生产计划问题——线性规划 253

11.2.2 背包问题——整数线性规划 255

11.3 四色问题——图论 256

习题11 257

习题答案或提示 260

参考文献 266