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第一章 线性空间与内积空间 1

1.1 集合与映射 1

一、集合 1

二、映射 2

1.2 线性空间及其基与维数 4

一、线性空间的定义 4

二、基、维数与坐标 6

三、基变换与坐标变换 8

1.3 线性子空间 11

一、线性子空间 11

二、子空间的交与和 12

三、直和 14

1.4 线性空间的同构 17

1.5 内积空间 18

一、欧氏空间 18

二、标准正交基与Gram-Schmidt正交化过程 22

三、子空间 25

四、同构 27

五、酉空间 28

习题一 29

第二章 线性变换和矩阵的Jordan标准形 33

2.1 线性变换与线性变换的矩阵 33

一、线性变换 33

二、线性变换的矩阵 35

三、线性变换在不同基下的矩阵 39

四、正交变换 40

2.2 特征值与特征向量 41

一、基本概念 41

二、矩阵对角化的相似条件 43

三、Hamilton-Caylay定理 44

2.3 不变子空间与Jordan标准形 45

一、值域与核 45

二、不变子空间 48

三、Jordan标准形 51

2.4 对称矩阵的相似对角化 52

2.5 λ-矩阵 54

一、基本概念 54

二、标准形 55

三、不变因子 57

四、初等因子 59

2.6 Jordan标准形的理论推导 60

一、矩阵的相似性条件 60

二、Jordan标准形 64

三、最小多项式 68

习题二 70

第三章 范数与极限 74

3.1 范数 74

一、向量范数 74

二、矩阵范数 76

三、赋范线性空间 81

3.2 矩阵序列与矩阵级数 82

一、矩阵序列与收敛性 82

二、矩阵级数 84

习题三 88

第四章 矩阵函数与函数矩阵 90

4.1 矩阵函数 90

一、矩阵多项式 90

二、矩阵函数的解析定义 94

三、矩阵函数的一般定义 96

4.2 函数矩阵及其导数 101

一、函数矩阵 101

二、函数矩阵的导数 103

三、函数矩阵的二阶导数与Hessian矩阵 110

习题四 111

第五章 矩阵分解 114

5.1 约化矩阵 114

一、Gauss矩阵 114

二、Householder矩阵 115

三、Givens矩阵 116

5.2 三角分解 117

一、LU分解 117

二、平方根分解 121

5.3 QR分解 122

5.4 Schur分解 125

5.5 奇异值分解 127

5.6 其他分解 130

习题五 132

第六章 一些特殊矩阵 134

6.1 正规矩阵 134

6.2 Hermite矩阵 135

一、Hermite矩阵 136

二、Hermite矩阵的特征值极性 137

6.3 Hermite正定矩阵 141

6.4 不可约矩阵和对角占优矩阵 143

一、不可约矩阵 143

二、对角占优矩阵 144

6.5 投影矩阵 147

习题六 151

第七章 非负矩阵 153

7.1 非负矩阵及其谱半径性质 153

7.2 Perron定理和Frobenius定理 155

7.3 随机矩阵与单调矩阵 159

一、随机矩阵 159

二、单调矩阵 161

7.4 M-矩阵 161

习题七 166

第八章 Kronecker积与矩阵方程 167

8.1 Kronecker积 167

一、矩阵Kronecker积的定义和基本性质 167

二、矩阵Kronecker积的特征值 168

三、矩阵Kronecker积的秩 170

四、矩阵Kronecker积的幂 171

8.2 矩阵方程 171

一、矩阵的向量化 171

二、线性矩阵方程 172

8.3 矩阵方程AX＋XB＝C 173

一、Sylvester方程 174

二、Sylvester方程解的形式 174

三、Lyapunov方程简介 176

8.4 求解矩阵方程的数值解法 176

一、中小规模Sylvester方程的数值解法 176

二、Sylvester方程系数矩阵A为大规模矩阵，B为小矩阵 177

三、Sylvester方程系数矩阵A，B均为大规模矩阵 179

习题八 180

第九章 最小二乘问题 182

9.1 最小二乘问题的基本性质 182

一、最小二乘问题的基本概念 182

二、最小二乘问题的数学性质 182

9.2 满秩矩阵的最小二乘问题 184

一、法方程（Normal equation） 184

二、曲线拟合问题 185

三、基于Cholesky分解求解的最小二乘解 187

四、基于QR分解求解的最小二乘解 187

五、奇异值分解方法 191

9.3 秩显分解和秩亏最小二乘问题 193

一、带列选主元的QR分解 193

二、数值秩显分解 195

三、秩亏最小二乘问题 195

9.4 广义逆矩阵 195

一、广义逆矩阵 195

二、广义逆的应用 198

习题九 199

附录 一元多项式 202

一、一元多项式及其基本运算 202

二、整除 203

三、最大公因式 204

四、多项式函数 206

参考文献 208