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第0章 预备知识 1

I.与微积分无关的预备知识 1

0.1用直线上的点表示实数 1

0.2用平面上的点表示实数对 1

0.3极坐标 3

0.4复数 4

0.5复数的定义与代数性质 4

0.6复数作为实数的推广 6

0.7虚数单位i 6

0.8习题 7

0.9几何解释·模与辐角 7

0.10共轭复数 9

0.11习题 9

0.12数学归纳法 10

0.13习题 12

0.14必要条件和充分条件 12

Ⅱ.关于微积分的预备知识 13

0.15导数概念 13

0.16导数的基本性质 14

0.17一些初等函数的导数 15

0.18速度和加速度 15

0.19面积问题与积分学的历史 16

0.20用积分法构造新函数 17

0.21积分的基本性质 17

0.22指数函数 18

0.23复指数 19

0.24复数的极坐标形式 20

0.25幂级数和函数级数 21

0.26习题 22

第1章 向量代数 24

1.1历史背景 24

1.2实n元组组成的向量空间 25

1.3n≤3时n维向量的几何描述 27

1.4习题 29

1.5点积 30

1.6向量的模和范数 31

1.7向量的正交 33

1.8习题 34

1.9投影·n维空间中向量的夹角 35

1.10单位坐标向量 37

1.11习题 38

1.12有限向量组的线性生成集 40

1.13线性无关 41

1.14基 43

1.15习题 44

1.16复数的n元组构成的向量空间Cn 46

1.17习题 47

第2章 向量代数在解析几何中的应用 49

2.1引言 49

2.2 n维空间中的直线 50

2.3 Rn中直线的一些简单性质 51

2.4n维空间中的直线和向量值函数 52

2.5三维空间和二维空间中的直线 53

2.6习题 55

2.7 n维欧氏空间中的平面 56

2.8平面和向量值函数 59

2.9习题 59

2.10 R3中两向量的叉积 61

2.11用行列式表示叉积 63

2.12习题 65

2.13纯量三重积 66

2.14解三元线性方程组的Cramer法则 68

2.15习题 69

2.16 R3中平面的法向量 70

2.17 R3中平面的线性笛卡儿方程 72

2.18习题 73

2.19二次曲线 74

2.20二次曲线的离心率 77

2.21二次曲线的极坐标方程 78

2.22习题 79

2.23一般二次曲线的笛卡儿方程 80

2.24关于原点对称的二次曲线 81

2.25椭圆和双曲线在标准位置时的笛卡儿方程 82

2.26抛物线的笛卡儿方程 84

2.27习题 85

2.28关于二次曲线的综合性习题 86

第3章 线性空间 88

3.1引言 88

3.2线性空间的公理化定义 88

3.3线性空间的实例 89

3.4公理的简单推论 91

3.5习题 92

3.6线性空间的子空间 93

3.7线性空间的线性相关组和线性无关组 94

3.8基与维数 97

3.9分量 98

3.10习题 99

3.11内积·欧氏空间·范数 100

3.12欧氏空间中的正交性 103

3.13习题 105

3.14正交组的构造·Gram-Schmidt方法 107

3.15正交补·投影 111

3.16用有限维子空间中的元素给出欧氏空间中元素的最优逼近 112

3.17习题 114

第4章 线性变换·矩阵 115

4.1线性变换 115

4.2零化空间·值域 116

4.3零化度·秩 117

4.4习题 119

4.5线性变换的代数运算 120

4.6逆 122

4.7一一线性变换 124

4.8习题 125

4.9基元素的象为指定值的线性变换 127

4.10线性变换的矩阵表示 127

4.11对角形矩阵表示的构造 132

4.12习题 134

4.13矩阵组成的线性空间 135

4.14线性变换与矩阵之间的同构 136

4.15矩阵的乘法 138

4.16习题 140

4.17在线性方程组中的应用 142

4.18计算技术·Gauss-Jordan消元法 144

4.19方阵的逆 148

4.20习题 152

4.21关于矩阵的综合性习题 153

第5章行列式 155

5.1引言 155

5.2行列式函数公理的选择 156

5.3行列式函数的公理 157

5.4对角矩阵的行列式 158

5.5上三角形矩阵的行列式 159

5.6用Gauss-Jordan消元法计算行列式 160

5.7行列式函数的唯一性 160

5.8习题 161

5.9行列式的多重线性性 162

5.10多重线性性的应用 164

5.11行列式的乘积公式 165

5.12非奇异矩阵的逆矩阵的行列式 166

5.13行列式与向量组的线性无关性 166

5.14分块对角矩阵的行列式 167

5.15习题 168

5.16行列式关于余子式的展开式 169

5.17余子式矩阵 170

5.18Cramer法则 171

5.19行列式按子式的展开式 172

5.20习题 175

5.21行列式函数的存在性 175

5.22关于行列式的综合性习题 178

第6章特征值与特征向量 180

6.1具有对角矩阵表示的线性变换 180

6.2线性变换的特征值与特征向量 181

6.3属于不同特征值的特征向量的线性无关性 183

6.4习题 184

6.5有限维线性空间 185

6.6三角化定理 186

6.7特征多项式 189

6.8有限维情形下特征值与特征向量的计算 190

6.9特征多项式根的积与和 193

6.10习题 194

6.11表示同一个线性变换的矩阵相似矩阵 195

6.12习题 199

6.13Cayley-Hamilton定理 200

6.14习题 202

6.15Jordan标准型 203

6.16关于特征值与特征向量的综合性习题 206

第7章欧氏空间中线性变换的特征值 208

7.1特征值与内积 208

7.2Hermite变换与斜Hermite变换 209

7.3属于不同特征值的特征向量的正交性 210

7.4习题 210

7.5有限维空间中Hermite算子和斜Hermite算子的标准正交特征向量组的存在性 211

7.6Hermite算子与斜Hermite算子的矩阵表示 212

7.7Hermite矩阵和斜Hermite矩阵伴随矩阵 213

7.8Hermite矩阵与斜Hermite矩阵的对角化 214

7.9酉矩阵·正交矩阵 215

7.10习题 216

7.11二次型 218

7.12将实二次型化为对角形 220

7.13对二次曲线的应用 221

7.14习题 225

7.15正定二次型 226

★7.16由二次型的值求对称变换的特征值 227

★7.17对称线性变换的极值性质 228

★7.18有限维情形 229

7.19酉变换 230

7.20习题 233

★7.21作用在函数空间上的对称算子和斜对称算子 233

7.22习题 235

第8章 在线性微分方程中的应用 237

8.1引言 237

8.2关于一阶与二阶线性微分方程的结果的回顾 238

8.3习题 239

8.4n阶线性微分方程 240

8.5存在唯一性定理 241

8.6齐次线性微分方程解空间的维数 242

8.7常系数线性算子的代数 242

8.8由算子的因式分解求常系数线性微分方程解的一组基 244

8.9习题 247

8.10齐次方程与非齐次方程之间的关系 248

8.11求非齐次方程的一个特解·参数变易法 249

8.12齐次线性微分方程n个线性无关解的Wronski矩阵的非奇异性 252

8.13求非齐次方程特解的特殊方法化为一阶线性微分方程组 254

8.14求非齐次微分方程特解的零化子方法 254

8.15习题 257

第9章 在微分方程组理论中的应用 260

9.1引言 260

9.2矩阵函数的微积分 262

9.3矩阵幂级数·矩阵的范数 262

9.4习题 264

9.5指数矩阵 265

9.6 etA所满足的微分方程 265

9.7矩阵微分方程F′ （t）＝AF（t）的解的唯一性定理 266

9.8关于指数矩阵的指数定律 267

9.9常系数齐次线性微分方程组的存在唯一性定理 268

9.10在特殊情形下etA的计算 269

9.11习题 273

9.12计算etA的Putzer方法 274

9.13在特殊情形下计算etA的方法 277

9.14习题 279

9.15常系数非齐次线性微分方程组 279

9.16习题 282

9.17一般线性微分方程组Y′（t） =P（t）Y（t）+Q（t） 283

9.18求解齐次线性方程组的幂级数方法 286

9.19习题 287

第10章 逐次逼近法 288

10.1引言 288

10.2在齐次线性方程组Y′（t）= A（t）Y（t）中的应用 288

10.3逐次逼近序列的收敛性 289

10.4用于一阶非线性方程组的逐次逼近法 292

10.5一阶非线性方程组解的存在唯一性定理的证明 294

10.6习题 295

★10.7逐次逼近与算子不动点 297

★10.8赋范线性空间 297

★10.9收缩算子 298

★10.10 关于收缩算子的不动点定理 299

★10.11不动点定理的应用 301

习题解答 304

索引 328