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致教师 微积分直接法 1

引言 托尔斯泰与微积分 6

第1章 导数：微积分之首 9

1．1 求导数直接法：代数恒等式的框架 13

1．2 导数的概念：与中学的差别 24

第2章 基本公式：微积分的顶峰 27

2．1 求积分直接法：平均的框架 27

2．2 积分的概念：与中学的差别 32

2．3 几何背景：曲线求高 35

2．4 基本公式细说 41

2．5 基本公式的使用范围 46

2．6 黎曼和：节外生枝 48

2．7 可积条件的明朗化 50

2．8 求面积：积分的另一解释 55

2．9 基本公式的硬伤 59

第3章 微分法：半壁江山歼灭战 61

3．1 一般微分法：微分表的最大扩充 62

3．2 反问题：由切线斜率看曲线 71

第4章 积分法：半壁江山拉锯战 80

4．1 积分表 81

4．2 积分代换法：积分表的扩充 85

4．3 分部积分法：积分表的扩充 87

第5章 泰勒公式：基本公式更高形式 91

5．1 泰勒展开的直接法：基本公式的连用 91

5．2 罗必达法则：泰勒公式应用之一 98

5．3 数值积分：泰勒公式应用之二 100

第6章 微分方程：新战场 106

6．1 对数函数：积分表的突破 106

6．2 指数函数：反函数更惊人 112

6．3 微分方程：基本公式不够用 114

6．4 积分的存在性 125

附录1 张景中不等式 127

附录2 复合函数求导的链式法则 131

附录3 微分中值定理 133

附录4 英文摘要 137

参考文献 146