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（上册） 1

第1章 量子状态描述 1

1.1 Schr？dinger绘景、Heisenberg绘景与相互作用绘景 1

1.1.1 三个绘景 1

1.1.2 Heisenberg绘景进一步叙述 5

1.1.3 相互作用绘景进一步叙述 7

1.1.4 三种绘景小结 8

1.2 量子系综与密度矩阵（Ⅰ）——基本概念 9

1.2.1 量子系综与混态 9

1.2.2 密度矩阵方法，Gleason定理 13

1.2.3 1/2自旋粒子的纯态与混态，Bloch球描述 17

1.2.4 密度矩阵集合的凸性 21

1.3 量子系综与密度矩阵（Ⅱ）——进一步叙述 22

1.3.1 密度矩阵的运动方程 22

1.3.2 约化密度矩阵 23

1.3.3 混态用密度矩阵描述的含糊性 25

1.4 量子系综与密度矩阵（Ⅲ）——信息、认证和应用 26

1.4.1 算符基与密度矩阵的正交算符展开 26

1.4.2 密度矩阵ρ的实验认证 29

1.4.3 量子态信息的度量——von Neumann熵与其特性 32

1.4.4 密度矩阵简单应用举例 34

第2章 对称性分析补充 38

2.1 空间转动变换分析 38

2.1.1 R3群与SU（2）群 38

2.1.2 标量场、矢量场、旋量场的转动行为——总角动量的引入 50

2.1.3 ｜lm〉的转动变换，D函数计算 55

2.1.4 角动量耦合与分解，Clebsch-Gordan系数 60

2.1.5 两个角动量耦合基矢的广义交换对称性 66

2.1.6 不可约张量算符矩阵元计算，Wigner-Eckart定理 68

2.2 时间反演变换若干应用 75

2.2.1 时间反演变换应用（Ⅰ）：Kramers定理 75

2.2.2 时间反演变换应用（Ⅱ）：微观可逆性定理 75

2.2.3 时间反演变换应用（Ⅲ）：K0--K0问题 77

2.2.4 时间反演变换应用（Ⅳ）：中子电偶极矩问题 77

2.3 全同粒子系统的置换对称性 79

2.3.1 微观粒子全同性原理 79

2.3.2 全同粒子系统的一般状态 81

2.3.3 全同粒子系统的交换作用 83

2.3.4 置换群，Yang图与Yang盘 88

2.3.5 Yang图基本表示的一些分析 89

第3章 全同多粒子非相对论量子力学——二次量子化方法述评 93

3.1 经典场论，Lagrange框架和Hamilton框架 93

3.1.1 经典场论，Lagrange框架和Hamilton框架 93

3.1.2 Noether第一定理 95

3.1.3 时空连续变换分析讨论 98

3.1.4 内禀连续对称变换与荷守恒 101

3.1.5 “Schr？dinger场”的“经典场论” 102

3.2 “Schr？dinger场”对易规则二次量子化 104

3.2.1 “Schr？dinger场”按对易规则二次量子化 104

3.2.2 转入粒子数表象 106

3.2.3 与全同Boson多体量子力学的等价性 108

3.3 “Schr？dinger场”反对易规则二次量子化 113

3.3.1 “Schr？dinger场”按Jordan-Wigner规则二次量子化 113

3.3.2 转入粒子数表象 114

3.3.3 与全同Fermion多体量子力学的等价性 115

3.3.4 二次量子化中对易规则选择问题 118

3.4 自作用“Schr？dinger场”二次量子化 119

3.4.1 自作用“Schr？dinger场”的二次量子化 119

3.4.2 转入粒子数表象 121

3.4.3 转入坐标表象 123

3.4.4 非相对论二次量子化方法评论 125

3.5 全同多体算符转入粒子数表象表示 126

3.5.1 全同Boson N体算符的转换 126

3.5.2 全同Fermion N体算符的转换 129

3.6 简单应用 130

3.6.1 弱耦合全同多体系统状态跃迁概率计算 130

3.6.2 Bose-Einstein与Fermi-Dirac统计分布律的简明推导 133

3.6.3 电中性介质简并电子气的二次量子化 136

第4章 量子变换理论概要 142

4.1 引言与数学准备 142

4.1.1 引言——线性量子变换（LQT）概念 142

4.1.2 数学预备 146

4.2 多模Fock空间广义线性量子变换的基本理论 150

4.2.1 多模Boson系统 150

4.2.2 多模Fermion系统 157

4.3 一些应用 159

4.3.1 特例Ⅰ：多模空间转动变换，角动量的Schwinger表示 159

4.3.2 特例Ⅱ：多模Bogoliubov-Valatin变换 163

4.3.3 多模二次型Boson系统和Fermion系统的配分函数计算 164

4.3.4 多模Boson二次型系统能谱和波函数计算 168

4.3.5 Bures保真度和纠缠度计算 169

4.4 向连续无穷模情况推广 169

4.4.1 基本公式 169

4.4.2 量子场CPT变换表达式推导 170

第5章 非相对论量子电动力学 176

5.1 Maxwell经典场论概要 177

5.1.1 自由电磁场能动张量 177

5.1.2 与电荷相互作用的经典Maxwell场论，Lorentz规范 177

5.1.3 与电荷相互作用的经典Maxwell场论，Coulomb规范 179

5.1.4 规范变换与偶极近似 181

5.2 Maxwell场正则量子化——非相对论QED（Ⅰ） 183

5.2.1 Coulomb规范下的正则量子化 184

5.2.2 Hamilton量与运动方程 185

5.2.3 动量展开 185

5.3 电磁场真空态能量和Casimir效应——非相对论QED（Ⅱ） 188

5.3.1 量子电磁场真空态及其能量 189

5.3.2 Casimir效应的物理原因 190

5.3.3 Casimir效应计算 190

5.3.4 讨论 192

5.4 Lamb移动——非相对论QED（Ⅲ） 193

5.4.1 Lamb移动的物理根源 193

5.4.2 电子位置晃动计算 195

5.5 相互作用场的量子化——非相对论QED（Ⅳ） 198

5.5.1 Maxwell场与Schr？dinger场的相互作用，基本方程组 198

5.5.2 相互作用场的二次量子化，相互作用Hamilton量 199

5.6 单原子与多模光场相互作用——非相对论QED（Ⅴ） 202

5.6.1 相互作用Hi表达式 202

5.6.2 Hi的初步应用 204

5.6.3 原子受激辐射与自发辐射的发射、吸收系数 205

5.6.4 模型计算 208

5.7 广义Jaynes-Cummings模型——非相对论QED（Ⅵ） 212

5.7.1 广义Jaynes-Cummings模型 212

5.7.2 求解与讨论 213

5.7.3 应用（Ⅰ）：共振条件下Raman散射腔QED 216

5.7.4 应用（Ⅱ）：四模－两道腔QED模型 220

第6章 相对论量子力学及缺陷 222

引言 222

6.1 Klein-Gordon方程 223

6.1.1 Klein-Gordon方程的引出及平面波解 223

6.1.2 外电磁场中的K-G方程 226

6.2 Klein-Gordon方程作为单粒子波函数方程的缺陷 228

6.2.1 阶跃势垒散射，Klein佯谬 228

6.2.2 K-G方程作为单粒子状态波函数方程的几个缺陷 229

6.3 Dirac方程的引出及正负能态解 231

6.3.1 自由粒子Dirac方程的导出 231

6.3.2 Dirac代数及γ矩阵的表示问题 233

6.3.3 自由粒子Dirac方程正负能态解 237

6.3.4 电磁场下Dirac方程及共轭方程 241

6.4 Dirac方程性质 241

6.4.1 Dirac方程解的概率解释 241

6.4.2 Dirac方程的Lorentz变换不变性 242

6.4.3 波函数二次式的变换规律——协变量研究 250

6.4.4 空间转动下ψ变换规律——1/2自旋双旋量解释 252

6.4.5 Dirac方程的分立对称变换 254

6.4.6 相对论性自由运动的“Zitterbewegung”现象 257

6.5 中心场Dirac方程求解——氢原子能谱精细结构 259

6.5.1 Dirac方程球坐标下的变数分离——球旋量的引入 259

6.5.2 Dirac单电子方程精确解——氢原子能谱精细结构 262

6.5.3 简要讨论 265

6.6 Dirac方程的非相对论近似 265

6.6.1 电磁场中Dirac方程的简单旋量联立表示 265

6.6.2 非相对论一阶近似——Pauli方程 266

6.6.3 非相对论二阶近似 268

6.6.4 讨论 271

6.7 Foldy-Wouthysen变换 273

6.7.1 自由粒子F-W变换 273

6.7.2 一般F-W变换 275

6.8 Dirac方程作为单粒子波函数方程的缺陷 281

6.8.1 阶跃势垒散射，Klein佯谬 281

6.8.2 Klein佯谬物理分析 282

6.8.3 作为单粒子量子力学方程缺陷分析 284

习题解答概要 287

（下册） 335

第7章 量子力学的路径积分表述 335

7.1 路径积分的基本原理 335

7.1.1 基本概念和方法——传播子与Feynman公设 335

7.1.2 与Schr？dinger方程的等价性 341

7.1.3 Gauss型积分传播子计算，经典路径法 342

7.1.4 传播子的微扰论计算 345

7.1.5 路径积分变数变换——Jacobi计算（Ⅰ） 347

7.2 Green函数及其生成泛函 350

7.2.1 算符编时乘积矩阵元 350

7.2.2 Green函数 352

7.2.3 Green函数生成泛函及其变分 355

7.2.4 算符行列式——泛函Jacobi计算（Ⅱ） 357

7.3 约束系统量子化方法 360

7.3.1 奇异Lagrange系统的Hamilton框架，Hess行列式 360

7.3.2 约束系统的广义正则方程 362

7.3.3 约束分析，Dirac定理，Dirac括号 365

7.3.4 约束系统的Dirac量子化 369

7.3.5 约束系统的路径积分量子化 370

7.3.6 算例：Dirac正则量子化，路径积分量子化 373

7.4 路径积分与有效Lagrange量 382

7.4.1 有效Lagrange量概念 382

7.4.2 算例：带电振子与交变电场的相互作用 383

第8章 多道散射理论（Ⅰ） 385

8.1 时演框架的形式散射理论，散射矩阵 387

8.1.1 碰撞过程时间演化描述，散射矩阵S定义 387

8.1.2 量子力学碰撞理论的应用范畴 392

8.1.3 Mφller算符Ω±的定义及其与S矩阵的关系 392

8.2 S矩阵微扰展开计算 393

8.2.1 S矩阵微扰展开 393

8.2.2 S矩阵元计算——向Schr？dinger绘景含时微扰论的转换 395

8.2.3 Gell-Mann-Low定理 397

8.3 跃迁概率、散射截面与S矩阵的关系 401

8.3.1 跃迁矩阵T和跃迁概率计算 401

8.3.2 微分截面σ（θ,φ）计算 403

8.3.3 T矩阵的幺正关系 404

8.3.4 光学定理 405

8.3.5 末态密度计算 405

8.4 多道散射矩阵S 406

8.4.1 散射分道的概念 406

8.4.2 分道Hamilton量Hα与渐近态 410

8.4.3 渐近条件与分道Mφller算符 414

8.4.4 多道散射矩阵S 418

8.5 多道散射截面计算 422

8.5.1 动量空间基矢 422

8.5.2 S矩阵元、能量守恒及壳上T矩阵 425

8.5.3 多道散射截面计算 430

第9章 多道散射理论（Ⅱ） 437

9.1 多道散射理论的定态框架 437

9.1.1 单道散射Lippmann-Schwinger方程，自由Green函数算符 437

9.1.2 定态框架的单道T算符及Tfi计算 441

9.1.3 单道L-S方程的一些变形，全Green函数算符 442

9.1.4 单道定态波函数〈x-｜k-±〉的分波展开 444

9.1.5 多道散射L-S方程 448

9.2 两种框架的关联，分道Mφller算符Ωα± 451

9.2.1 分道T算符 451

9.2.2 分道T算符的几点讨论 453

9.2.3 分道Mφller算符Ωα±的定义 455

9.2.4 Ωa±与｜p-,α±〉的关系 455

9.2.5 ｜ψ±i,α〉与｜ψi,α〉间的“穿衣关系” 457

9.2.6 Mφller算符作用小结 459

9.3 时空变换的不变性 461

9.3.1 空间转动不变性 461

9.3.2 空间反射不变性 467

9.3.3 时间反射不变性 470

9.4 多道散射Born近似与扭曲波近似 473

9.4.1 多道弹性散射的Born近似 473

9.4.2 多道非弹性散射的Born近似——靶粒子激发 476

9.4.3 例算：电子在氢原子上散射导致激发跃迁1s→2p 477

9.4.4 多道扭曲波Born近似 479

9.5 束缚态与散射理论的完备性、正交性和幺正性 484

9.5.1 多道散射形成束缚定态的分析，Levinson定理 484

9.5.2 三组态矢序列的正交性 485

9.5.3 束缚态存在与散射理论的渐近完备性 488

9.5.4 束缚态存在与散射矩阵S的幺正性 490

9.5.5 束缚态存在与Mφller算符的幺正性 491

第10章 近似计算方法 493

10.1 变分法近似 493

10.1.1 变分极值定理 493

10.1.2 应用：无限维L2空间分立谱H完备性的Courant-Hilbert定理 494

10.1.3 讨论 497

10.2 WKB近似 498

10.2.1 WKB渐近展开 499

10.2.2 适用条件 501

10.2.3 转向点邻域分析 502

10.2.4 例算 503

10.3 绝热近似理论 507

10.3.1 传统绝热理论摘要 507

10.3.2 绝热U（1）不变基 509

10.3.3 绝热不变基的变系数展开 511

10.3.4 新绝热条件 513

10.3.5 几点重要分析 516

10.3.6 例算与分析 519

10.3.7 量子几何势差与Berry相位的关联 520

第11章 量子纠缠与混态动力学 523

引言 523

11.1 混态静力学，纠缠度与保真度 523

11.1.1 量子纠缠，纠缠度定义 523

11.1.2 量子纠缠判断 526

11.1.3 Gauss纠缠纯态的纠缠度计算 530

11.1.4 Bures保真度计算 531

11.2 混态动力学（Ⅰ）——超算符映射与Kraus方程 533

11.2.1 密度矩阵演化的超算符映射 534

11.2.2 超算符的性质，Kraus定理 537

11.3 混态动力学（Ⅱ）——Markov近似与主方程 541

11.3.1 Markov近似 541

11.3.2 主方程与混态演化 542

11.4 混态动力学（Ⅲ）——主方程求解 545

11.4.1 求解方法介绍 545

11.4.2 求解例算 551

第12章 量子理论述评 560

12.1 量子理论内禀性质概述 560

12.1.1 力学量的“可观测性”与其算符本征函数族的“完备性” 560

12.1.2 QT本质的非线性 563

12.1.3 测量坍缩的或然性 565

12.1.4 测量坍缩的不可逆性 566

12.1.5 量子纠缠性 568

12.1.6 QT内在逻辑自洽性 570

12.1.7 QT本质的多粒子性 571

12.1.8 QT本质的空间非定域性 572

12.1.9 QT中的因果性 577

12.2 量子理论空间非定域性评述 579

12.2.1 量子纠缠与“关联型空间非定域性”的等价性 579

12.2.2 Bell-CHSH-GHZ-Hardy-Cabello路线评述 583

12.2.3 QT空间非定域性评述 584

12.3 量子理论因果观评述 585

12.3.1 坍缩与关联坍缩的因果分析 585

12.3.2 QT因果观（Ⅰ）：与相对论定域因果律不兼容 586

12.3.3 QT因果观（Ⅱ）：绝对的因果关系只归属于不可逆过程 588

12.3.4 QT因果观（Ⅲ）：不可逆过程也可以是熵不增加的幺正演化过程 588

12.4 量子理论的先天不足、逻辑矛盾和困难 589

12.4.1 QT的先天不足（Ⅰ）：对测量过程描述的唯象性 589

12.4.2 QT的先天不足（Ⅱ）：对跃迁转化过程描述的唯象性 589

12.4.3 QT内在的逻辑矛盾及引发的困难 590

附录A 状态空间几点附注 593

A.1 QT状态空间是数学Hilbert空间的扩充 593

A.2 态空间直和：内直和与外直和 595

A.2.1 内直和 595

A.2.2 外直和 596

A.3 态空间直积 597

附录B 量子力学算符理论简论 599

B.1 常见的几种算符，定义与基本性质 599

B.1.1 有界算符 600

B.1.2 厄米共轭算符 600

B.1.3 对称算符——厄米算符；自伴算符——自共轭算符 601

B.1.4 逆算符 602

B.1.5 等距算符 604

B.1.6 等距算符（续） 605

B.1.7 幺正算符 607

B.1.8 投影算符 608

B.2 态矢和算符的极限与收敛，弱收敛与强收敛 609

B.2.1 QT中常常涉及依赖于连续参数α的态矢｜ψ（α）〉及其极限问题 609

B.2.2 Cauchy判别 609

B.2.3 态矢的强收敛与弱收敛 610

B.2.4 算符的极限 611

B.3 算符奇异性问题初步处理 612

B.3.1 Fock空间尴尬局面及应对原则 612

B.3.2 有零本征值算符的逆算符的格林函数处理 612

B.4 算符指数（index）定理和算符极化分解 614

B.4.1 算符的核空间和算符指数 614

B.4.2 算符极化分解和指数定理 615

B.5 相位算符和相位差算符 619

B.5.1 单模Fermion的相位算符 619

B.5.2 两模Boson的相位差算符 619

B.5.3 两模Fermion的相位差算符 620

B.5.4 Boson和Fermion混合的相位差算符 621

附录C 算符完备性的4个定理 622

C.1 力学量算符本征函数族完备性的4个定理 622

C.1.1 有限维L2空间中算符完备性 622

C.1.2 无限维L2空间分立谱H完备性（Ⅰ）——Courant-Hilbert定理 622

C.1.3 无限维L2空间分立谱Hamilton量完备性（Ⅱ）——Kato定理 622

C.1.4 扩大的L2空间混合谱Hamilton量完备性（Ⅲ）——Fadeev-Hepp定理 624

C.2 C-H定理应用（Ⅰ）——中心场径向波函数完备性分析 626

C.2.1 下限问题 626

C.2.2 C-H定理的直接应用 626

C.2.3 一维C-H定理 626

C.2.4 中心场径向波函数的完备性问题 627

C.3 C-H定理应用（Ⅱ）——中心场径向波函数坍缩分析 628

附录D 超冷原子Feshbach共振散射计算 630

D.1 低能势散射的共振现象 630

D.2 超冷原子散射Feshbach共振物理分析 632

D.3 Feshbach共振理论 634

D.4 共振宽度 635

D.5 散射矩阵 637

附录E 泛函变分与泛函导数 642

E.1 泛函数，泛函变分和泛函导数 642

E.2 泛函数和泛函导数的物理意义 643

E.3 泛函导数的微分性质 644

E.4 几种泛函的泛函导数 645

E.5 用L来表述泛函导数δL/δφσ,δL/δθσ以及场的运动方程 647

E.6 泛函导数举例 648

E.7 泛函Taylor展开 648

附录F Grassmann数的数学分析 650

F.1 Grassmann数 650

F.2 Grassmann数的变分和积分 651

F.3 Grassmann数应用举例 652

F.4 Grassmann数的Gauss型重积分计算 654

附录G 弯曲空间的矢量平移、和乐及Berry相位 658

G.1 引言 658

G.2 球面的矢量平行移动 660

G.2.1 矢量平移的定义 660

G.2.2 球面上的矢量平移 661

G.2.3 讨论 662

G.2.4 沿并非大圆弧段平移计算举例 662

G.3 U（1）和乐（holonomy）群 663

G.4 再谈球面和乐相因子——缓变磁场中1/2自旋粒子的演化 665

G.5 球面度规与联络系数计算 667

G.6 小结 669

附录H 路径积分数学分析 672

H.1 泛函Jacobi计算 672

H.1.1 动量空间展开法 672

H.1.2 平方为常数算符 673

H.1.3 Green函数法 673

H.1.4 近似展开法 674

H.2 泛函δ函数计算 674

H.2.1 泛函δ函数定义 674

H.2.2 泛函δ函数的宗量变换 676

H.2.3 例算 677

H.3 几个数学分析问题 677

H.3.1 分部积分 677

H.3.2 Gauss型泛函积分 677

H.3.3 Fourier变换 679

H.3.4 例算&. 680

习题解答概要 682

索引 720