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第1部分 古典理论 1

第1章 引言 1

1.1牛顿（Newton）方程 1

1.2微分方程的分类 3

1.3一阶自治方程 5

1.4求明显解 10

1.5一阶方程的定性分析 15

1.6一阶周期方程的定性分析 21

第2章 初值问题 24

2.1不动点定理 24

2.2基本的存在性唯一性结果 26

2.3一些推广 28

2.4关于初始条件的依赖性 31

2.5解的可延拓性 36

2.6欧拉（Euler）方法和佩亚诺（Peano）定理 38

第3章 线性方程 42

3.1矩阵指数 42

3.2一阶线性自治系统 47

3.3n阶线性自治方程 53

3.4一般的一阶线性系统 58

3.5n阶线性系统 63

3.6线性周期系统 67

3.7附录：若尔当（Jordan）标准形 72

第4章 复域中的微分方程 76

4.1基本的存在唯一性结果 76

4.2二阶方程的费罗贝尼乌斯（Frobenius）方法 79

4.3含有奇点的线性系统 90

4.4费罗贝尼乌斯（Frobenius）方法 93

第5章 边值问题 99

5.1引言 99

5.2紧对称算子 103

5.3施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）问题 108

5.4正则施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）问题 110

5.5振动理论 114

5.6周期施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）方程 119

第2部分 动力系统 127

第6章 动力系统 127

6.1动力系统 127

6.2自治方程的流 128

6.3轨道与不变集 131

6.4庞加莱（Poincaré）映射 134

6.5不动点的稳定性 135

6.6稳定性的李雅谱诺夫（Liapunov）方法 137

6.7一维牛顿（Newton）方程 139

第7章 不动点附近的局部性态 143

7.1线性系统的稳定性 143

7.2稳定流形和不稳定流形 145

7.3哈特曼-格罗伯曼（Hartman-Grobman）定理 150

7.4附录：积分方程 156

第8章 平面动力系统 162

8.1来自生态学中的例子 162

8.2来自电路工程中的例子 166

8.3庞加莱-本迪克松（Poincaré-Bendixson）定理 170

第9章 高维动力系统 174

9.1吸引集 174

9.2洛伦兹（Lorenz）方程 177

9.3哈密顿（Hamilton）力学 180

9.4完全可积的哈密顿（Hamilton）系统 184

9.5开普勒（Kepler）问题 188

9.6 KAM定理 190

第3部分 混沌 194

第10章 离散动力系统 194

10.1逻辑斯谛（logistic）方程 194

10.2不动点和周期点 196

10.3线性差分方程 199

10.4不动点附近的局部性态 200

第11章 一维离散动力系统 203

11.1倍周期 203

11.2萨尔科夫斯基（Sarkovskii）定理 205

11.3关于混沌的定义 206

11.4康托尔（Cantor）集与帐篷映射 209

11.5符号动力学 212

11.6奇怪吸引子／奇怪排斥子与分形集 216

11.7作为混沌源的同宿轨道 219

第12章 周期解 223

12.1周期解的稳定性 223

12.2庞加莱（Poincaré）映射 224

12.3稳定流形和不稳定流形 226

12.4自治扰动的梅利尼科夫（Melnikov）方法 228

12.5非自治扰动的梅利尼科夫（Melnikov）方法 232

第13章 高维系统中的混沌 235

13.1斯梅尔（Smale）马蹄 235

13.2斯梅尔-伯克霍夫（Smale-Birkhoff）同宿定理 236

13.3同宿轨道的梅利尼科夫（Melnikov）方法 237

参考文献 241

记号术语表 243

索引 244