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第一篇 高等数学 1

第一章 函数·极限·连续 1

1.1 函数 1

1.2 极限·连续 3

题型一 关于“抓大头”（抓大头的方法由陈文灯先生在《数学复习指南》中提出） 5

题型二 关于无穷小 5

题型三 关于洛必达法则 8

题型四 关于“1∞”型极限 11

题型五 关于数列极限 13

题型六 关于夹逼定理 14

题型七 关于单调有界序列 16

题型八 关于用定积分求极限 18

题型九 关于左、右极限 19

题型十 求极限表达式中的未知参数 21

题型十一 利用拉格朗日中值定理或泰勒公式计算极限 22

题型十二 关于在x＝x0的连续性及间断点 25

题型十三 关于重要定理的证明 27

习题一 28

第二章 导数与微分 32

2.1 导数的定义 32

2.2 基本求导公式及求导运算法则 38

题型一 分段函数求导 39

题型二 复合函数求导 41

题型三 隐函数求导及参数方程求导 43

题型四 反函数求导 45

题型五 对上限变量求导 46

2.3 高阶导数 47

题型一 使用归纳法求高阶导数 48

题型二 间接法 49

题型三 利用莱布尼兹公式求高阶导数 50

题型四 利用幂级数展开（或泰勒公式）求f（n）（0） 51

习题二 51

第三章 积分 55

3.1 不定积分 55

题型一 三角替换 66

题型二 指数代换及简单根式的不定积分 68

习题三（1） 74

3.2 定积分 76

习题三（2） 96

3.3 广义积分 99

习题三（3） 103

第四章 中值定理 104

4.1 闭区间上连续函数的性质 104

4.2 微分中值定理 108

题型一 验证中值定理正确性 108

题型二 利用罗尔定理证明零点的存在性 109

题型三 利用连续性、极值、单调性证明函数存在零点，并确定零点个数 112

题型四 证明二个中值ξ、η的等式及恒等式 114

4.3 泰勒公式 116

题型一 将函数麦克劳林展开或泰勒展开 117

题型二 利用泰勒展开证明等式及不等式 119

4.4 积分中值定理 122

4.5 关于中值位置的讨论 124

4.6 本章中重要定理的证明 126

习题四 128

第五章 一元微积分的应用 131

5.1 导数与切线 131

5.2 单调性、凹凸性 134

5.3 渐近线、极值与最值 137

5.4 不等式 142

题型一 利用单调性证明不等式 142

题型二 用中值定理证明不等式 145

题型三 用凹凸性证明不等式 146

题型四 用极值最值证明不等式 147

题型五 其他不等式 148

习题五（1） 152

5.5 几何应用 155

5.6 定积分的物理应用 162

习题五（2） 164

第六章 矢量代数及空间解析几何 167

6.1 矢量 167

6.2 平面与直线 171

6.3 曲面与空间曲线 176

习题六 181

第七章 多元函数微分学 183

7.1 函数、极限、连续 183

7.2 偏导数与全微分 186

题型一 求多元复合函数的偏导数及全微分 189

题型二 隐函数求导 190

题型三 利用变量替换将方程变形 193

题型四 利用偏导数或全微分确定常数或函数 195

7.3 极值与最值 196

题型一 无条件极值 197

题型二 条件极值 199

7.4 方向导数与梯度 201

7.5 多元函数的几何应用 204

题型一 空间曲线的切线与法平面 204

题型二 空间曲面的切平面及法线 207

7.6 本章中重要定理的证明 209

习题七 210

第八章 重积分 215

8.1 二重积分 215

题型一 交换积分次序 216

题型二 选择适当坐标系计算二重积分 218

题型三 对称性 220

题型四 分区域积分 224

题型五 其他 225

8.2 三重积分 227

题型一 选择适当的坐标系 227

题型二 对称性 231

习题八 237

第九章 级数 241

9.1 数项级数 241

9.2 幂级数 251

题型一 收敛半径与收敛区域 252

题型二 函数展开成幂级数 255

题型三 用逐项求导、逐项求积分方法求幂级数的和函数 259

题型四 幂级数与微分方程 260

题型五 数项级数求和 262

9.3 傅里叶级数 265

习题九 268

第十章 曲线积分、曲面积分、场论 274

10.1 第一类曲线积分 274

题型一 计算弧长 275

题型二 计算第一类曲线积分 276

10.2 第二类曲线积分 277

题型一 计算第二类曲线积分 278

题型二 曲线积分与路径无关 282

10.3 第一类曲面积分 287

题型一 求曲面的面积 287

题型二 计算第一类曲面积分 289

10.4 第二类曲面积分 291

题型一 第二类曲面积分的各种计算方法 293

题型二 空间第二类曲线积分及斯托克斯定理 296

10.5 场论 299

习题十 300

第十一章 常微分方程 303

11.1 常微分方程的基本概念 393

11.2 一阶微分方程 304

题型一 可分离变量方程 304

题型二 一阶齐次方程 304

题型三 一阶线性方程 306

题型四 伯努利方程 310

题型五 将变上限积分方程转化成一阶微分方程 311

11.3 可降阶方程 313

题型一 y"＝f（x,y'）类型 313

题型二 y"＝f（y,y'）类型 14

11.4 二阶常系数线性微分方程 316

习题十一 326

第二篇 线性代数 331

第一章 行列式 331

题型一 低阶行列式的计算 333

题型二 n阶行列式的计算 337

题型三 应用行列式与方阵相关性质计算行列式 343

题型四 克莱姆法则 348

习题一 349

第二章 矩阵 353

题型一 矩阵的基本运算 357

题型二 求方阵的高次幂 363

题型三 初等变换与初等矩阵 365

题型四 逆矩阵 367

题型五 矩阵方程 371

习题二 374

第三章 向量 379

题型一 向量组的线性表示 381

题型二 向量组的极大线性无关组，向量组的秩与矩阵的秩 388

题型三 线性空间 392

习题三 396

第四章 线性方程组 400

题型一 有关解的性质及结构 401

题型二 求解线性方程组 403

题型三 求方程组中的参数 408

题型四 二个方程组的公共解 411

题型五 证明题 414

题型六 对于空间解析几何的应用 416

习题四 417

第五章 相似矩阵与二次型 422

题型一 矩阵的特征值与特征向量 426

题型二 相似矩阵 432

题型三 可相似对角化问题 436

题型四 实对称矩阵相似对角化问题 439

题型五 相似对角化对于矩阵高次幂的应用 442

题型六 二次型化标准型 444

题型七 正定二次型与正定矩阵 451

习题五 454

第三篇 概率论与数理统计 460

第一章 随机事件与概率 460

题型一 事件的运算与概率的性质 463

题型二 古典概型与几何概型的计算 464

题型三 条件概率、乘法公式与事件的独立性 467

题型四 全概公式与贝叶斯公式 472

题型五 n重贝努利试验 474

习题一 476

第二章 随机变量 480

2.1 一维随机变量 480

题型一 分布函数、概率密度及离散型随机变量的分布律 483

题型二 利用重要分布求概率 489

题型三 随机变量函数的分布 494

2.2 二维随机变量 500

题型一 二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布及独立性 504

题型二 二维随机变量函数的分布 509

习题二 514

第三章 随机变量的数字特征 520

题型一 一维随机变量的数字特征 522

题型二 二维随机变量函数数学期望与方差 530

题型三 协方差、相关系数及独立性 533

题型四 应用题 537

习题三 540

第四章 大数定律及中心极限定理 543

题型一 关于切比雪夫不等式 544

题型二 关于中心极限定理 545

习题四 546

第五章 数理统计 548

5.1 数理统计基本概念 548

5.2 点估计 555

题型一 矩估计与最大似然估计 555

题型二 估计量的评判标准 558

5.3 区间估计 562

5.4 假设检验 564

习题五 569