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第1章 多项式 1

1.1 数环和数域 1

1.2 一元多项式的定义和运算 4

1.3 多项式的整除性理论 7

1.4 多项式的最大公因式 9

1.5 多项式的因式分解 14

1.6 多项式的重因式 16

1.7 多项式函数与多项式的根 19

1.8 复数域和实数域上的多项式 23

1.9 有理数域上的多项式 26

1.10 多元多项式 30

1.11 多元对称多项式 34

第2章 行列式 39

2.1 线性方程组的公式解 39

2.2 排列与奇偶性 42

2.3 n阶行列式的定义 44

2.4 行列式的基本性质 48

2.5 行列式按一行（列）展开 53

2.6 行列式的计算技巧 58

2.7 克莱姆（Cramer）法则 66

2.8 行列式按多行（列）展开 71

第3章 线性方程组 77

3.1 线性方程组的矩阵解法 78

3.2 n维向量空间 84

3.3 线性相关与线性无关 86

3.4 矩阵的秩 91

3.5 线性方程组解的讨论 96

3.6 线性方程组解的结构 99

3.7 高次方程组解的讨论 109

第4章 矩阵 114

4.1 矩阵的初等变换 114

4.2 矩阵的运算 118

4.3 矩阵乘积的行列式和秩 122

4.4 矩阵可逆的判定与求法 125

4.5 初等矩阵与可逆矩阵 129

4.6 分块矩阵与可逆矩阵 134

4.7 分块矩阵的初等变换及应用 140

第5章 二次型 145

5.1 二次型与矩阵相合 145

5.2 二次型的标准化 148

5.3 复数域与实数域上的规范形 154

5.4 正定二次型及其判定 159

第6章 线性空间 165

6.1 集合与映射 166

6.2 线性空间的定义与性质 169

6.3 线性空间的基和维数 171

6.4 过渡矩阵与坐标变换 175

6.5 子空间与子空间的扩充 177

6.6 子空间的运算与关系 180

6.7 子空间的直和与判定 183

6.8 空间同构的本质属性 186

第7章 线性变换 190

7.1 线性变换的定义和性质 191

7.2 线性变换的运算 193

7.3 线性变换和矩阵 196

7.4 特征值与特征向量 203

7.5 线性变换的对角化 208

7.6 线性变换的值域与核 214

7.7 不变子空间 217

7.8 若尔当（Jordan）标准形简介 221

7.9 最小多项式 224

第8章 欧氏空间 228

8.1 欧氏空间的定义和性质 229

8.2 标准正交基与正交矩阵 233

8.3 欧氏空间的同构与性质 238

8.4 正交变换的定义与性质 240

8.5 子空间正交的定义与性质 244

8.6 对称变换与实对称矩阵的对角化 245

8.7 酉空间的酉变换和厄米特变换 252

第9章 双线性函数 258

9.1 线性函数的定义和性质 258

9.2 对偶空间的基和维数 260

9.3 双线性函数与度量矩阵 265

9.4 对称双线性函数与二次函数的标准化 268

第10章 λ-矩阵 272

10.1 λ-矩阵的基本概念 272

10.2 λ-矩阵相抵的充要条件 275

10.3 矩阵相似的条件 280

10.4 最小多项式和不变因子 283

10.5 λ-矩阵的应用 284

第11章 矛盾方程组的最小二乘解 290

11.1 向量范数和矩阵范数 290

11.2 矛盾方程组的最小二乘解 293

11.3 矩阵的广义逆 296

11.4 矩阵的奇异值分解 300

11.5 最小范数最小二乘解 302

附录 学生研究课题简介 305

参考答案 310

参考文献 344