复变函数学习指导与例题分析PDF电子书下载

目录 1

第一章　复数与复变函数 1

一、本章基本要求 1

二、复数的概念及其运算 1

（一）基本概念 1

（二）复数的运算公式 3

（三）复习思考题 4

（一）关于区域表示法的练习 5

三、复数及其运算解题法分类总结 5

（二）关于曲线的参数表示法 6

（三）用复数和共轭复数表示的曲线方程 7

（四）关于两条直线垂直和平行的条件 7

（五）求复平面上线段的分点和正多边形的对称中心 9

（六）有关圆内接三角形和圆内接多边形的证明问题 9

（七）有关复数模的等式和不等式的练习 13

（八）利用乘方和开方化简或证明三角等式 16

（九）复数的混合运算及其多项式的根 19

（一）基本概念与定理 21

四、复变函数的极限和连续 21

（二）复习思考题 23

五、极限与连续解题法分类总结 23

（一）表达式w＝f（z）和w＝u（x，y）＋iv（x，y）的互相转化 23

（二）关于函数在某点处连续性的判别 24

（三）函数极限的求法和极限不存在的判别法 25

六、复球面 27

（一）复数在球面上的表示法与扩充复平面 27

（二）球极投影公式 27

（三）球极投影的基本性质——保圆性 28

七、本章补充习题 28

第二章　解析函数 32

一、本章基本要求 32

二、复变函数的解析性与调和函数 32

（一）基本概念 32

（二）基本定理 33

（一）指数函数w＝ez＝expx 34

三、初等函数 34

（二）三角函数 35

（三）双曲函数 35

（四）对数函数 36

（五）一般幂函数和一般指数函数 36

（六）反三角函数和反双曲函数 37

四、基本概念复习思考题 39

五、例题分类总结 40

（一）判别函数解析性和可导性 40

（二）用调和函数表示解析函数的几个等式 45

（三）解析函数w＝f（z）的C-R条件在极坐标系下的各种形式 48

（四）关于解析函数与调和函数的关系 50

（五）在函数解析条件下某些等式的证明 53

（六）实变复值调和函数与函数f（？）的解析性 55

（七）用L'Hospital法则求？型的极限 56

（八）关于三角函数和双曲函数公式的证明 57

（九）关于对数的性质与反三角函数和反双曲函数计算公式的证明 58

（十）关于三角函数和双曲函数方程的解法 59

（十一）计算初等函数值 60

六、本章补充习题 61

第三章　复变函数的积分 64

一、本章基本要求 64

二、基本概念、定理和公式 64

（一）复变函数曲线积分的定义、计算及性质 64

（二）曲线积分与路径无关的条件和闭路变形原理 66

（三）柯西（Cauchy）积分公式和高阶导数公式 67

三、复习思考题 67

四、解题法分类总结 69

（一）直接用柯西—古萨基本定理计算复变函数曲线积分 69

（二）用复变函数中的牛顿—莱布尼兹公式计算复积分 69

（三）直接用柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式计算复积分 71

（四）被积函数在积分闭路内有多个奇点的积分 72

（五）非解析函数的曲线积分计算 73

（六）可把被积函数化为解析函数的曲线积分 74

（七）在被积函数中含有不定常数的积分 75

（八）利用柯西积分公式证明调和函数的性质 76

（九）柯西积分公式在复闭路的推广 78

五、本章补充习题 79

第四章　级数 82

一、本章基本要求 82

二、基本概念、公式和定理 82

（一）复数列与复数项级数 82

（二）函数项级数与幂级数 83

（三）台劳（Taylor）级数 85

（四）罗伦（Laurent）级数 86

（五）关于函数项级数的一致收敛性 87

（六）关于级数的重排和级数的乘法 89

三、复习思考题 89

四、解题法分类总结 92

（一）复数列极限的求法 92

（二）判别级数敛散性的方法 93

（三）关于幂级数收敛半径的求法 94

（四）函数项级数收敛区域与和函数的求法 96

（五）几个特殊数列极限与某些级数和的求法 99

（六）关于幂级数收敛半径的比较和估计 103

（七）求解析函数的台劳级数展开式 104

（八）求函数在其解析环域内的罗伦级数 111

（九）求函数在z＝∞点邻域内的罗伦级数 115

（十）利用罗伦级数证明几种复变函数的付里叶（Fourier）级数展开式和某些含有三角级数的等式 118

（十一）用台劳级数证明不等式 121

（十二）关于级数的绝对收敛性和一致收敛性的证明 122

（十三）台劳级数系数的定积分表达式及其估计 128

（十四）利用台劳级数或罗伦级数求三角级数之和 131

五、本章补充习题 132

第五章　留数 137

一、本章基本要求 137

二、基本概念、公式和定理 137

（一）孤立奇点 137

（二）留数（Residue） 139

（四）留数在定积分计算上的应用 141

（三）对数留数与辐角原理 141

三、基本概念复习思考题 142

四、例题分类总结 144

（一）L'Hospital法则与？型极限的求法 144

（二）函数零点的阶数与函数运算的关系 146

（三）判别孤立奇点的类型 147

（四）判别无穷远点∞作为奇点的类型 149

（五）求函数在孤立奇点处的留数（包括∞点） 151

（六）利用留数计算沿闭路的复积分 153

（七）函数在积分闭路内有无穷个孤立奇点的积分 157

（八）利用留数证明含有积分的等式 159

（九）关于函数的零点和极点的概念在某些证明问题中的应用 164

（十）利用留数计算定积分和无穷限的广义积分 166

（十一）约当（Jordan）引理和几类无穷限广义积分计算公式的证明 168

五、本章补充习题 171

（一）解析函数导数的几何意义和保角映射 175

二、基本概念、定理和公式 175

一、本章基本要求 175

第六章　保角映射 175

（二）解析映射的几个一般性定理 177

（三）分式线性映射 177

（四）几个初等函数所构成的映射 180

三、复习思考题 181

四、例题分类总结 183

（一）与几种常见曲线有关的映射 183

（二）求所给区域经已知映射后的像 187

（三）求满足已给条件的分式线性映射 189

（四）求把一个二角形区域变为上半平面的双方单值的保角映射 192

（五）从一个扇形区域或一段圆弧的外部区域到上半平面的映射 196

（六）把具有和边界垂直割缝的区域变为上半平面的映射 198

（七）许瓦尔兹引理 201

五、本章补充习题 202

参考文献 206

推荐使用教材 206