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目录 1

序言 1

第一章　行列式与线性方程组 1

§1．行列式 1

1.1　行列式的定义 3

1.2　行列式的子式·代数余子式 8

1.3　行列式的性质 11

1.4　克莱满法则 23

1.5　行列式的保值变换与两条有关的定理 26

§2．向量和矩阵 31

2.1　向量及其基本运算 31

2.2　线性相关与线性组合 32

2.3　向量空间与子空间 36

2.4　矩阵和它的秩 43

2.5　矩阵的初等变换 46

2.6　矩阵代数 51

2.7　方阵的乘法和逆方阵 53

§3．线性代数方程组 59

3.1　非齐次方程组 59

3.2　消去法 62

3.3　齐次方程组 68

§4．线性代数方程组的数值解法 72

4.1　高斯主元素法 73

4.2　高斯紧凑方案 77

4.3　逆矩阵的求法 81

4.4　若当方案 82

第二章　线性规划 85

§1．问题的提出 85

§2．表上作业法 89

2.1　闭迥路的理论 91

2.2　检验数 95

2.3　独立与非独立未知数的互换 99

2.4　表上作业法的具体步骤 101

2.5　产销不平衡的情形 107

§3．图上作业法 108

§4．一般线性规划问题 115

4.1　一般线性规划问题的标准化 115

4.2　凸集法 117

4.3　迭代法 121

第三章　方程式论 128

§1．多项式的因式与倍式 128

1.1　数域与数环 128

1.2　多项式的概念 129

1.3　多项式的运算及 130

其性质 130

1.4　最高公因式 132

1.5　多项式分解为不可约因式的积 136

§2．方程的一般性质 138

2.1　方程的根（多项式的零点） 138

2.2　重根及其求法 139

2.3　方程的变形 140

2.4　根与系数的关系 142

§3．实数域上的多项式 143

3.1　实系数多项式 143

3.2　实根计算的预备知识 144

3.3　实根的界 147

3.4　实根的近似计算 155

3.5　林士锷-赵访熊法 162

3.6　罗伯契夫斯基法 165

§4．高次联立方程组 171

4.1　结式 171

4.2　用消去法解联立方程组 176

4.3　解高次方程组的牛顿法 178

第四章　线性空问与线性变换 182

§1．线性空间 182

1.1　线性空间的概念 182

1.2　维数与底 185

1.3　子空间 188

1.4　子空间的交与和 189

1.5　线性空间的同构 193

2.1　线性变换及其运算 195

§2．线性变换及其矩阵 195

2.2　线性变换的矩阵表示式 198

2.3　群的概念 203

2.4　相似矩阵 205

2.5　不变于空间 209

§3．特征多项式与最小多项式 211

3.1　线性变换的多项式与最小多项式 211

3.2　特征多项式及特征向量 214

3.3　哈密顿-凯莱定理 218

第五章　若当法式 222

§1．多项式矩阵 222

1.1　多项式矩阵及其初等变换 222

1.2　初等因式与不变因式 224

§2．若当法式及其求法 230

2.1　矩阵多项式的除法 231

2.2　矩阵的若当法式 234

§3．特征根的近似计算 237

3.1　但尼列夫斯基 238

3.2　绝对值最大的特征根的求法 244

3.3 克雷洛夫法 247

第六章　二次齐式与欧几里德空间 252

§1．实二次齐式在满秩线性变换下的标准式 252

1.1　二次齐式及其矩阵表达式 252

1.2　化二次齐式为标准式 254

1.3　惯性定理 257

1.4　有定二次齐式 259

2．欧几里德空间与酉空间 262

2.1　欧氏空间的定义和例子 263

2.2　向量的模和夹角 264

2.3　正交性 268

2.4　正交补空间与线性方程组可解的几何意义 272

2.5 欧氏空间的同构 275

2.6　酉空间 276

3．正交变换群和酉变换群 278

3.1　正交变换的概念 278

3.2　正交变换的特性 279

3.3　正交方阵 280

3.4　正交变换的几何意义 281

3.5　酉变换与酉矩阵 282

4．实二次齐式在正交变换下的的标准式 284

4.1　化二次齐式为标准式的正交变换的存在性 284

4.2　正交变换的实际求法 288

4.3　二次曲面在正交变换下的标准式 292

4.4　同时化简一对二次齐式 294

4.5　额尔密特二次齐式 296