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目录 1

第一章 绪论——研究数列及其极限的必要性 1

§1 生产实践和科学研究的需要 1

（一）物理问题 1

（二）化学问题 2

（三）生物问题 3

（四）经验公式 3

§2 数学发展的需要 7

（一）几何问题 7

（二）代数问题 9

（三）三角问题 16

§3 无穷与有限的重大差别 16

习题一 22

第二章　数列 23

§1　数列的意义 23

§2　斐波那契（Fibonacci）数列 27

§3 循环数列 28

（一）斐波那契数列的推广 28

（二）循环数列 28

（三）循环数列的确定 29

（四）循环数列的性质 30

（五）循环数列的通项公式 31

§4　数列常见的几种类型 42

（一）以相邻两项的大小关系作为区分的标志 42

（二）以各项的绝对值是否有界作为区分的标志 45

§5　数列的图象 48

（一）在数轴上的表示法 48

（二）在坐标平面上的表示法 50

§6　数列求和 53

（一）和的符号与性质 53

（二）三种求和方法的比较 54

（三）连乘积的和、自然数的方幂和 59

（四）部分分式的利用 63

（五）三角函数列的和 72

（六）混和数列的和 73

（七）求和方法的推广与局限 74

§7　和的估值 79

§8　应用 82

习题二 90

第三章　数列的极限 96

§1　极限的定义 96

（一）割圆术的普遍化与精确化 96

（二）数列极限的定义 102

（三）几何图示 103

（四）极限的基本性质 105

（五）依定义求极限之例 106

§2　几点注意 113

（一）趋势的多样性 113

（二）ε的任意性 115

（三）N的存在性与多值性 115

（四）N的求法 117

（五）极限与代数运算的异同 120

（一）带量词的命题及其否定 121

§3　发散数列 121

（二）发散的定义 128

（三）发散的类型 130

§4　无穷大量与无穷小量的阶 133

（一）无穷大量的比较 133

（二）无穷大量的阶 134

（三）无穷小量的阶 135

习题三 137

第四章　极限的四则运算 141

§1 引言 141

（一）和（差）的极限 142

§2　极限的四则运算 142

（二）积的极限 143

（三）商的极限 144

§3　关于极限存在的重要性 146

（一）必不可少的前提 146

（二）无穷小量与有界变量 147

（三）含无穷大的待定式：∞-∞；？ 148

§4　四则运算的次数不能无限增多 151

（一）利用求和公式使项数不变 152

（二）截成两部，使之皆可任意小 155

（一）三种平均值 159

（三）利用夹值定理 159

§5　平均值的极限及其应用 159

（二）调和平均值的极限 160

（三）应用 161

§6　加权平均值的极限及其应用 165

（一）加权平均值的意义 165

（二）加权算术平均值的极限 166

（三）应用 169

（四）施笃兹（O·Stolz）定理 172

习题四 175

§1　不等式与极限 179

（一）引言 179

第五章 不等式的极限与夹值定理 179

（二）不等式两边取极限的法则 180

§2　夹值定理及其应用 181

（一）夹值定理 181

（二）应用之例 182

§3　几何平均值的极限及其应用 187

（一）几何平均值的极限 187

（二）应用之例 189

（三）推广——加权几何平均值 191

习题五 196

（一）集合的上、下界 198

第六章　极限存在的判定 198

§1　确界和确界定理 198

（二）确界概念 199

（三）实数的统一形式 200

（四）确界定理 200

§2　单调有界数列必有极限 202

§3 求极限的另一方法 203

§4 区间套定理 210

（一）区间套 211

（二）区间套定理 211

§5　收敛的充要条件——柯西准则 212

（一）收敛的必要条件 213

（二）收敛的充分条件 214

（三）收敛的充要条件 217

（四）应用 217

习题六 219

第七章 e的引入及其性质 221

§1 e的引入 221

（一）复利的计算 221

（二）稀释问题 222

§2　e的定义 223

（一）｛（1＋？）n｝的递增性 224

（二）｛（1＋？）n｝的有界性 226

（三）e的定义 227

§3 e的级数表达式 228

（一）级数的概念 228

（二）e的级数形式 229

（三）余项的估值 230

（四）e是无理数 231

（五）e的近似计算 232

§4　自然对数 235

（一）以e为底的对数函数 235

（二）对数lnn的估值 236

（三）欧拉常数 238

（四）ln2的近似计算 239

习题七 241

第八章　级数 243

§1　级数与数列 243

§2　级数的基本性质 244

（一）改变前有限个项并不影响收敛性 244

（二）各项乘同一常数不影响收敛性 245

（三）收敛级数可以逐项相加（减） 245

（四）收敛级数具有结合性 246

（六）级数收敛的充要条件 247

（五）级数收敛的必要条件 247

§3　正项级数 248

（一）收敛的充要条件 248

（二）比较判别法则 251

（三）柯西判别法 256

（四）达朗贝尔判别法 260

（五）达朗贝尔与柯西判别法的比较 262

（六）正项级数的可交换性 265

§4　交错级数 266

（一）收敛的判别法 266

（二）收敛级数的余式 268

（三）交错级数之例 269

§5　绝对收敛与级数的可交换性 272

（一）在级数中交换次序所产生的问题 272

（二）绝对收敛 274

（三）绝对收敛级数的分解 275

（四）绝对收敛的级数是可交换的 277

（五）非绝对收敛的级数不具有可换性 278

习题八 282

第九章　极限的推广 289

§1　度量空间 289

（一）距离的性质 289

（二）度量空间的定义 290

（三）度量空间之例 291

（四）有界性 299

§2　度量空间内的极限概念 299

（一）极限的定义 299

（二）性质 300

§3　极限的进一步推广 302

（一）极限与邻域 302

（二）拓扑空间 303

（三）极限的定义 305

附录Ⅰ 石瓦兹（H．A．Schwarz）之例 307

附录Ⅱ 三个平均值之间的大小关系 311