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绪论 1

0.1 数学的发展概况 1

0.2 高等数学的基本内容和思想方法 3

0.3 学习高等数学过程中应该注意的一些问题 8

第一章 函数与极限 9

1.1 函数的概念及其初等性质 9

1.1.1 集合 9

1.1.2 常量 变量 函数 11

1.1.3 函数的初等性质 15

1.1.4 函数的初等运算 20

1.1.5 基本初等函数与初等函数 23

1.1.6 函数关系的建立 29

习题1.1 31

1.2 数列极限 33

1.2.1 数列的概念 33

1.2.2 数列极限的概念 34

1.2.3 收敛数列的性质 38

1.2.4 数列收敛的判别法 40

习题1.2 43

1.3 函数极限 44

1.3.1 函数极限的概念 44

1.3.2 函数极限的性质 52

1.3.3 收敛判别法与两个重要极限 54

习题1.3 58

1.4.1 无穷小及其性质 60

1.4 无穷小与无穷大 60

1.4.2 无穷小阶的比较 63

1.4.3 无穷大及其性质 65

习题1.4 67

1.5 函数的连续性 68

1.5.1 函数的连续与间断 68

1.5.2 连续函数的运算 72

习题1.5 75

1.6 闭区间上连续函数的性质 76

习题1.6 80

复习题一 80

总习题一 82

选读 经济学中常用函数 83

数学家小传 85

第二章 一元函数的导数与微分 88

2.1 导数的概念 88

2.1.1 导数概念的实例 88

2.1.2 导数定义 90

2.1.3 导数意义的解释 91

2.1.4 导函数、函数的求导举例 93

2.1.5 可导与连续的关系可导的充分必要条件 94

习题2.1 98

2.2 导数的计算 99

2.2.1 导数的四则运算 100

2.2.2 反函数的导数 102

2.2.3 复合函数的求导法则 103

2.2.4 初等函数的求导 105

习题2.2 107

2.3 高阶导数 108

2.3.1 高阶导数的概念 108

2.3.2 高阶导数的计算 109

2.3.3 高阶导数的运算法则 111

习题2.3 112

2.4 几种类型函数的求导方法 113

2.4.1 隐函数的求导法 113

2.4.2 对数求导法 116

2.4.3 参数方程所确定的函数的导数 117

2.4.4 相关变化率 120

习题2.4 122

2.5.1 微分的概念 123

2.5 函数的微分与线性逼近 123

2.5.2 微分的计算 126

2.5.3 函数的一阶线性逼近 129

习题2.5 130

复习题二 131

总习题二 132

选读 导数在经济分析中的应用(Ⅰ)：边际与弹性 134

数学家小传 136

第三章 微分中值定理与导数的应用 138

3.1 微分中值定理 138

3.1.1 费尔马定理 138

3.1.2 罗尔中值定理 139

3.1.3 拉格朗日中值定理 141

3.1.4 柯西中值定理 144

习题3.1 146

3.2 洛必达法则 146

3.2.1 ？型不定式的洛必达法则 147

3.2.2 ？型不定式的洛必达法则 149

3.2.3 其他类型的不定式 150

习题3.2 154

3.3 泰勒公式与函数的高阶多项式逼近 154

3.3.1 泰勒公式 154

3.3.2 函数的高阶多项式逼近 158

习题3.3 161

3.4.1 函数的单调性的判别法 162

3.4 函数的单调性与凸性 162

3.4.2 函数凸性的判别法 166

习题3.4 170

3.5 函数极值与最值的求法 171

3.5.1 函数极值的判别法 171

3.5.2 函数的最值的计算 174

习题3.5 176

3.6 弧微分 曲率 函数作图 177

3.6.1 弧微分 177

3.6.2 曲率及其计算 179

3.6.3 曲线的渐近线 183

3.6.4 函数图形的描绘 186

复习题三 189

习题3.6 189

总习题三 190

选读 导数在经济分析中的应用(Ⅱ)：管理与决策 192

数学家小传 195

第四章 不定积分 198

4.1 不定积分的概念与性质 198

4.1.1 原函数 198

4.1.2 不定积分 199

4.1.3 不定积分的性质 201

4.1.4 基本积分公式 202

习题4.1 206

4.2.1 第一类换元法 207

4.2 换元积分法 207

4.2.2 第二类换元法 214

习题4.2 220

4.3 分部积分法 223

习题4.3 228

4.4 特殊类型函数的积分法 229

4.4.1 有理函数的积分 229

4.4.2 三角函数有理式的积分 234

4.4.3 简单无理函数的积分 236

4.4.4 积分表的使用 239

习题4.4 241

复习题四 242

总习题四 244

选读 函数迭代与混沌 246

第五章 定积分及其应用 250

5.1 定积分的概念与性质 250

5.1.1 定积分问题的提出 250

5.1.2 定积分的定义 253

5.1.3 定积分的性质 258

习题5.1 264

5.2 微积分基本公式 265

5.2.1 变上限的定积分 265

5.2.2 变上限的定积分的性质 266

5.2.3 牛顿-莱布尼兹公式 268

习题5.2 274

5.3.1 换元法 277

5.3 定积分的计算 277

5.3.2 分部积分法 282

5.3.3 近似计算 285

习题5.3 291

5.4 广义积分 293

5.4.1 无穷限的广义积分 293

5.4.2 无界函数的广义积分 298

5.4.3 Г函数 302

习题5.4 304

5.5 定积分在几何上的应用 305

5.5.1 建立定积分数学模型的微元法 305

5.5.2 平面图形的面积 307

5.5.3 体积 312

5.5.4 平面曲线的弧长 317

5.5.5 旋转体的侧面积 321

习题5.5 322

5.6 定积分在物理上的应用 324

5.6.1 变力作功 324

5.6.2 水压力 327

5.6.3 引力 329

5.6.4 平均值 331

习题5.6 333

复习题五 334

总习题五 336

选读 积分学在经济分析中的应用：总量与贴现 340

数学家小传及数学史 342

6.1 微分方程的基本概念 345

第六章 微分方程与差分方程初步 345

习题6.1 350

6.2 一阶微分方程 351

6.2.1 可分离变量方程 351

6.2.2 齐次方程 352

6.2.3 一阶线性微分方程 354

6.2.4 伯努里方程 357

6.2.5 黎卡提方程与初值问题解的存在唯一性 358

习题6.2 359

6.3 可降阶的二阶微分方程 361

6.3.1 y″=f(x)型方程 361

6.3.3 y″=f(y，y′)型方程 362

6.3.2 y″=f(x，y′)型方程 362

习题6.3 365

6.4 二阶线性微分方程 366

6.4.1 二阶线性微分方程解的性质与通解的结构 366

6.4.2 二阶线性非齐次方程解的常数变易法 368

6.4.3 二阶常系数线性齐次方程的解法 369

6.4.4 二阶常系数线性非齐次方程的解法 372

习题6.4 377

6.5 微分方程的应用举例 378

习题6.5 388

6.6 简单差分方程及其应用 389

6.6.1 差分方程的一般概念 390

6.6.2 一阶和二阶常系数线性差分方程的解法 392

6.6.3 差分方程的应用 396

习题6.6 398

6.7 微分方程数值解 399

习题6.7 402

复习题六 402

总习题六 403

选读 文物年代的鉴定 405

数学家小传 407

附录Ⅰ 高等数学常用数学名词英文注释 409

附录Ⅱ 几种常用的曲线 414

附录Ⅲ 积分表 418

习题答案 428