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第1章 变分法 1

1.1 泛函和泛函的极值问题 1

1.1.1 泛函的概念 1

1.1.2 泛函的极值问题 2

1.2 泛函的变分和最简单情形的欧拉方程 5

1.2.1 泛函的变分 5

1.2.2 最简单情形的欧拉方程 9

1.3 多个函数和多个自变量的情形 13

1.3.1 多个函数 13

1.3.2 多个自变量 15

1.4 泛函的条件极值问题 17

1.4.1 等周问题 17

1.4.2 测地线问题 21

1.5 自然边界条件 23

1.6 变分原理 26

1.6.1 经典力学的变分原理 27

1.6.2 量子力学的变分原理 32

1.7 变分法在物理学中的应用 33

1.7.1 在经典物理中的应用 34

1.7.2 在量子力学中的应用 41

习题 47

附录1A 函数的极值问题 50

参考文献 52

第2章 希尔伯特空间 53

2.1 线性空间、内积空间和希尔伯特空间 53

2.1.1 线性空间 53

2.1.2 内积空间 58

2.1.3 希尔伯特空间 67

2.2 内积空间中的算子 69

2.2.1 算子与伴随算子 69

2.2.2 自伴算子 76

2.2.3 非齐次线性代数方程组有解的择一定理 83

2.3 完备的正交归一函数集合 84

2.3.1 收敛的类别 84

2.3.2 函数集合的完备性 86

2.3.3 N维数域空间和希尔伯特函数空间 90

2.3.4 正交多项式 91

2.4 魏尔斯特拉斯定理与多项式逼近 95

2.4.1 魏尔斯特拉斯定理 95

2.4.2 多项式逼近 97

习题 103

附录2A 数e不是一个有理数的证明 107

参考文献 108

第3章 二阶线性常微分方程 109

3.1 二阶线性常微分方程的一般理论 109

3.1.1 解的存在唯一性定理 109

3.1.2 齐次方程解的结构 110

3.1.3 非齐次方程的解 116

3.2 施图姆－刘维尔型方程的特征值问题 119

3.2.1 施图姆－刘维尔型方程的形式 119

3.2.2 施图姆－刘维尔方程的边界条件 120

3.2.3 施图姆－刘维尔特征值问题 122

3.2.4 施图姆－刘维尔特征值问题举例 127

3.3 施图姆－刘维尔型方程的多项式解集 129

3.3.1 核函数和权函数的可能的形式 129

3.3.2 多项式的级数表达式和微商表示 133

3.3.3 母函数关系 139

3.3.4 正交的施图姆－刘维尔多项式解集的完备性定理 141

3.3.5 正交多项式解集在数值积分中的应用 142

3.4 与多项式的施图姆－刘维尔系统有关的方程和函数 145

3.4.1 拉盖尔函数 145

3.4.2 勒让德函数 149

3.4.3 切比雪夫函数 154

3.4.4 厄米函数 158

3.5 切比雪夫双曲函数 165

3.5.1 微分方程的建立 165

3.5.2 微分方程的求解 166

3.6 二阶常微分方程的复变函数理论 169

3.6.1 齐次线性方程组的解 169

3.6.2 二阶常微分方程 181

3.7 非自伴的二阶常微分方程 187

3.7.1 常微分方程的伴随方程 187

3.7.2 施图姆－刘维尔算子 188

3.7.3 非自伴二阶常微分方程的完备集 191

3.8 非齐次方程有解的条件 192

习题 196

附录3A 初值问题（3.1.4）的解的存在唯一性的证明 201

附录3B 重求和中变量的代换 204

附录3C 关于施图姆－刘维尔理论向狄拉克型方程的推广 204

参考文献 205

第4章 贝塞尔函数 207

4.1 贝塞尔方程 207

4.1.1 贝塞尔方程及其解 207

4.1.2 第一类和第二类贝塞尔函数 213

4.2 贝塞尔函数的基本性质 216

4.2.1 贝塞尔函数的递推公式 216

4.2.2 贝塞尔函数的渐近式 219

4.2.3 贝塞尔函数的零点 219

4.2.4 朗斯基行列式 222

4.3 整数阶贝塞尔函数 223

4.3.1 奇偶性和特殊点的值 224

4.3.2 整数阶贝塞尔函数的母函数 225

4.4 半奇数阶贝塞尔函数 229

4.5 第三类贝塞尔函数和球贝塞尔函数 232

4.5.1 第三类贝塞尔函数 232

4.5.2 球贝塞尔函数 236

4.6 虚变量（或变形）贝塞尔函数 241

4.6.1 第一类和第二类变形的贝塞尔函数 241

4.6.2 整数阶变形贝塞尔函数 246

4.6.3 半奇数阶变形贝塞尔函数 248

4.7 变量为实数的贝塞尔函数 248

4.7.1 贝塞尔方程的特征值问题 248

4.7.2 特征函数族的性质 250

4.7.3 球贝塞尔方程的特征值问题 254

习题 255

附录4A Γ（z）函数的导数与ψ（z）函数 261

附录4B 第二类贝塞尔函数表达式 263

参考文献 265

第5章 狄拉克δ函数 267

5.1 δ函数的定义与性质 267

5.1.1 δ函数的定义 267

5.1.2 函数是一个广义函数 268

5.1.3 δ函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换 269

5.1.4 广义函数的导数和积分 270

5.1.5 δ函数中的定值是个复数的情况 272

5.2 δ函数视为普通函数的弱收敛极限 273

5.2.1 普通函数的弱收敛的几种形式 273

5.2.2 证明式（5.2.7a）的弱收敛极限是δ函数 277

5.2.3 证明式（5.2.9b）的弱收敛极限是δ函数 277

5.2.4 证明式（5.2.11）的弱收敛极限是δ函数 279

5.2.5 立用举例 280

5.3 多维空间中的δ函数 282

5.3.1 直角坐标系 282

5.3.2 直角坐标系到曲线坐标系的变换 283

5.4 δ函数的广义傅里叶展开 286

习题 290

参考文献 292

第6章 格林函数 294

6.1 格林函数的基本理论 294

6.1.1 格林函数的定义 294

6.1.2 格林函数的作用和性质 295

6.1.3 格林函数的求解方法 297

6.1.4 格林函数的物理意义 303

6.2 拉普拉斯算子的基本解 305

6.2.1 三维情况 307

6.2.2 二维情况 308

6.2.3 一维情况 310

6.3 阻尼振子的格林函数 312

6.3.1 齐次方程的解 312

6.3.2 求解格林函数 313

6.3.3 方程的通解 314

6.3.4 无阻尼的情况 314

6.3.5 边界条件对格林函数的影响 315

6.4 二阶常微分方程的格林函数 316

6.4.1 格林函数的对称性 317

6.4.2 二阶微分方程边值问题的解 318

6.4.3 广义格林函数 320

6.4.4 求解二阶微分方程边值问题的实例 326

6.5 高维空间的格林函数 333

6.5.1 二阶微分方程与格林函数 333

6.5.2 二维格林函数求解实例 336

6.5.3 三维格林函数求解实例 351

6.5.4 光的小孔衍射 354

6.5.5 三维空间中粒子散射的问题 362

6.6 镜像法求解格林函数 363

6.6.1 镜像法的基本理论 363

6.6.2 二维空间实例 366

6.6.3 三维空间实例 371

6.7 一阶微分方程的格林函数 373

6.7.1 非齐次方程边值问题 373

6.7.2 齐次方程边值问题 373

6.7.3 非齐次方程与格林函数 374

6.7.4 边值问题的通解 375

6.8 非自伴微分方程的格林函数 376

6.8.1 伴随格林函数 376

6.8.2 非齐次微分方程的解 378

习题 379

参考文献 382

第7章 范数 383

7.1 巴拿赫空间 383

7.1.1 巴拿赫空间 383

7.1.2 赫尔德不等式 386

7.1.3 闵可夫斯基不等式 389

7.2 向量范数 390

7.2.1 向量范数 390

7.2.2 量范数的等价性 393

7.3 矩阵范数 394

7.3.1 矩阵范数 394

7.3.2 矩阵的谱范数和谱半径 400

7.3.3 矩阵测度 403

7.4 算子范数 407

7.4.1 算子的范数 407

7.4.2 伴随算子 411

7.4.3 投影算子 414

7.5 全连续算子 417

7.5.1 线性积分变换用有限秩线性积分变换逼近 417

7.5.2 全连续算子 419

习题 424

参考文献 426

第8章 积分方程 428

8.1 积分方程的基础理论 428

8.1.1 积分方程的定义和分类 428

8.1.2 积分方程与微分方程的关系 430

8.1.3 关于齐次积分方程的理论 433

8.2 线性积分方程的迭代技术 437

8.2.1 弗雷德霍姆线性积分方程 437

8.2.2 沃尔泰拉线性积分方程 447

8.3 非线性方程的迭代技术 448

8.3.1 迭代步骤 448

8.3.2 利普希茨条件 450

8.3.3 利用收缩的概念 452

8.3.4 弹簧的非谐振动 453

8.4 退化核的弗雷德霍姆线性积分方程 455

8.4.1 可分核 455

8.4.2 有限秩核 462

8.4.3 核按特征系的展开 471

8.5 卷积型积分方程的求解 473

8.5.1 弗雷德霍姆卷积型积分方程 473

8.5.2 沃尔泰拉卷积型积分方程 476

8.6 多项式类型的积分方程 479

8.6.1 只含多项式的弗雷德霍姆积分方程的解法 479

8.6.2 母函数法 481

习题 483

参考文献 488

第9章 数论在物理逆问题中的应用 490

9.1 陈－莫比乌斯变换 490

9.1.1 引言 490

9.1.2 莫比乌斯变换 492

9.1.3 陈－莫比乌斯变换 497

9.2 晶体中声子态密度的逆问题 500

9.2.1 逆变换公式 500

9.2.2 低温近似 502

9.2.3 高温近似 505

9.3 晶体内原子间相互作用势的逆问题 507

9.3.1 一维情况 508

9.3.2 二维情况 512

9.3.3 三维情况 516

9.4 加性莫比乌斯变换及其应用 523

9.4.1 函数的加性莫比乌斯变换及其应用 523

9.4.2 数列的加性莫比乌斯变换及其应用 529

9.5 与表面和界面有关的对势反演问题 532

9.5.1 孤立原子与半无限大晶体内原子的对势 532

9.5.2 晶体表面原子弛豫 534

9.5.3 界面原子间作用势的逆问题 535

习题 539

附录9A 黎曼ζ函数的数值 541

附录9B 倒易系数的计算 543

参考文献 544

第10章 任意维空间的基本方程 547

10.1 任意维欧几里得空间 547

10.1.1 直角坐标系与球坐标系 547

10.1.2 梯度、散度和拉普拉斯算子 551

10.2 拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程的格林函数 553

10.2.1 拉普拉斯方程的格林函数 553

10.2.2 亥姆霍兹方程的格林函数 555

10.3 有心势下的径向方程 557

10.3.1 高维空间有心势下的径向方程 557

10.3.2 亥姆霍兹方程 558

10.3.3 无限深球方势阱 559

10.3.4 有限深球方势阱 560

10.3.5 库仑势 561

10.3.6 谐振子势 563

10.3.7 两项负幂次分子势 565

10.3.8 正负幂次分子势 566

10.3.9 指数衰减吸引势 566

10.3.10 径向方程具有解析解的条件 567

10.4 角向方程的解 568

10.4.1 四维空间 569

10.4.2 五维空间 573

10.4.3 N维空间 574

10.4.4 总角动量的线性无关分量 577

10.5 赝球坐标系 580

10.5.1 四维空间赝球坐标系 580

10.5.2 拉普拉斯方程的解 581

10.5.3 五维和六维空间 584

10.6 非欧几里得空间 585

10.6.1 度规张量 585

10.6.2 五维闵可夫斯基空间和四维德西特空间 589

习题 596

附录10A 超几何方程与超几何函数 598

参考文献 599

外国人名英汉对照表 600

索引 602