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第一章 复数与复变函数 1

第一讲 复数的概念与运算 1

1.复数的概念 1

2.复数的代数运算 2

3.复数的几何表示 4

4.复球面 7

5.复数的乘幂与方根 9

思考题1-1 13

习题1-1 14

第二讲 区域与复变函数 16

1.区域的概念 16

2.平面曲线与连通域 17

3.复变函数 19

4.复变函数的极限与连续性 22

思考题1-2 26

习题2-2 26

第三讲 初等函数 27

2.对数函数 28

1.指数函数 28

3.幂函数 30

4.三角函数和双曲函数 32

5.反三角函数与反双曲函数 34

思考题1-3 35

习题1-3 36

复习题 37

第二章 解析函数 39

第一讲 解析函数概念 39

1.复变函数的导数与微分 39

2.解析函数的概念 41

3.函数解析的充要条件 43

4.初等函数的解析性 48

思考题2-1 49

习题2-1 49

第二讲 调和函数及其应用 51

1.解析函数与调和函数的关系 51

2.调和函数与平面向量场 54

3.调和函数的物理应用举例 57

思考题2-2 62

习题2-2 62

复习题 63

第三章 复变函数的积分 65

第一讲 复变函数的积分 65

一、复变函数积分的概念 65

1.复变函数积分的定义 65

2.复积分存在的条件 67

二、复积分的计算 68

1.复积分的计算 68

2.复积分的性质 70

思考题3-1 71

习题3-1 72

第二讲 柯西定理与柯西公式 73

一、解析函数的基本定理——柯西定理 73

1.柯西—古莎定理 73

2.复积分的牛顿—莱布尼兹公式 74

3.复合闭路定理 77

二、柯西积分公式 80

1.柯西积分公式 80

2.解析函数的高阶导数 82

思考题3-2 85

习题3-2 85

复习题 87

一、复数项级数及其敛散性 89

1.复数列的极限 89

第一讲 幂级数 89

第四章 级数 89

2.复数项级数的敛散性 90

二、幂级数 93

1.幂级数的概念 93

2.收敛圆与收敛半径 94

3.收敛半径的求法 96

4.幂级数的运算性质 98

习题4-1 100

思考题4-1 100

一、泰勒级数 101

第二讲 泰勒级数与罗伦级数 101

二、罗伦级数 106

思考题4-2 113

习题4-2 114

复习题 115

第一讲 留数 117

一、孤立奇点的概念 117

第五章 留数 117

1.可去奇点 118

2.极点 118

3.本性奇点 119

4.极点与零点的关系 119

5.函数在无穷远点邻域的性态 121

二、留数 123

1.留数的定义与留数定理 123

2.留数的计算 125

3.无穷远点的留数 128

思考题5-1 131

习题5-1 131

第二讲 留数的应用 133

一、三种形式的定积分计算 133

1.？R(cosθ，sinθ)dθ型积分 133

2.？R(x)dx型积分 135

3.？R(x)eiax dx型积分 136

1.电场内总电荷与功的计算 140

二、留数在力学上的应用举例 140

2.流速场的流量与环量的计算 141

3.机翼剖面的夏甫莱金升力公式 141

4.茹可夫斯基升力公式 142

思考题5-2 142

习题5-2 143

第三讲 对数留数与辐角原理 144

1.对数留数 144

2.辐角原理 145

3.路西定理 147

习题5-3 148

思考题5-3 148

复习题 149

第六章 保形映射 151

第一讲 保形映射和分式线性映射概念 151

一、保形映射的概念 151

1.解析函数导数的几何意义 151

2.保形映射的概念 153

1.分式线性映射的分解 154

二、分式线性映射及其性质 154

2.分式线性映射的性质 156

思考题6-1 159

习题6-1 159

第二讲 分式线性映射与初等函数的映射 160

一、唯一决定分式线性映射的条件 160

1.交比不变性 160

2.唯一决定分式线性映射的条件 161

3.分式线性映射的应用 162

1.将上半平面Imz＞0映为上半平面Imw＞0的分式线性映射 164

二、三个重要的分式线性映射 164

2.将上半平面Imz＞0映为单位圆内部｜w｜＜1的分式线性映射 165

3.将单位圆内部｜z｜＜1映为单位圆内部｜w｜＜1的分式线性映射 167

三、几个初等函数构成的映射 168

1.幂函数w=zn 168

2.指数函数ez 170

3.茹可夫斯基函数w=？(z+？) 171

习题6-2 173

思考题6-2 173

第三讲 保形映射的几个定理 176

一、几个一般性定理 176

二、多角形映射公式 179

习题6-3 181

复习题 182

总复习题 184

习题答案 191