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第一章 函数与极限 1

第一节 函数概念 1

一、变量与函数 1

二、函数的运算 4

三、函数的几种特性 6

四、初等函数 9

第二节 极限概念 12

一、数列的极限 12

二、函数的极限 18

三、极限的性质 22

四、无穷小与无穷大 25

一、极限的运算性质 26

第三节 极限的运算与两个重要极限 26

二、计算极限的例题 29

三、无穷小与无穷大的阶 31

四、两个重要极限及相关例题 32

第四节 函数的连续性 35

一、函数连续性的概念 35

二、函数的间断点 37

三、连续函数的运算性质 39

四、初等函数的连续性 41

五、闭区间上的连续函数的性质 43

习题一 45

第二章 导数与微分 52

第一节 导数与微分的定义 52

一、两个实例 52

二、导数的定义 54

三、求导数的例题 56

四、微分 59

第二节 求导数和微分的一般方法 61

一、四则运算法则 61

二、反函数与复合函数求导法则 64

三、公式表与初等函数求导 66

四、高阶导数 69

五、隐函数与参数式函数求导 73

第三节 微分中值定理 77

一、函数的极值 77

二、微分中值定理 79

三、洛必达法则 82

第四节 函数性态的研究与作图 86

一、函数的单调性 87

二、极值的判定法 88

三、简单的优化问题 90

四、曲线的凹凸性、拐点与曲率 93

五、函数作图 98

第五节 数值计算中的应用 104

一、微分应用于数值计算 104

二、方程的数值解 106

习题二 108

第三章 定积分与不定积分 119

第一节 定积分的概念 119

一、两个实例 119

二、定积分的定义 122

三、定积分的几何意义 124

一、基本性质 126

第二节 定积分的性质与微积分基本公式 126

二、微积分基本公式 130

第三节 不定积分及其计算 134

一、不定积分的概念 134

二、不定积分的基本性质 136

三、不定积分的换元积分法 138

四、不定积分的分部积分法 146

第四节 定积分的计算 151

一、定积分的换元积分法 152

二、定积分的分部积分法 156

三、数值积分方法 158

一、无穷区间上的广义积分 163

第五节 广义积分 163

二、无界函数的广义积分 167

习题三 169

第四章 定积分的应用 178

第一节 微元法 178

第二节 几何问题 180

一、平面图形的面积 180

二、立体图形的体积 183

三、平面曲线的弧长 185

四、旋转曲面的面积 188

第三节 物理问题 190

一、功与引力 190

二、质心的坐标 193

三、转动惯量 197

四、平均值问题 198

习题四 200

第五章 无穷级数 204

第一节 无穷级数及其性质 204

一、无穷级数的概念 204

二、收敛级数的基本性质 207

第二节 数项级数敛散性判别法 211

一、正项级数敛散性判别法 211

二、交错级数与任意项级数的敛散性 222

第三节 幂级数 228

一、幂级数及其收敛域 228

二、幂级数的运算及其和函数的性质 235

一、泰勒级数和麦克劳林级数 240

第四节 初等函数的幂级数展开式 240

二、初等函数的幂级数展开式 243

第五节 无穷级数的应用 249

一、函数值的近似计算 249

二、定积分的数值计算 251

三、函数f(x)在给定点的高阶导数 252

四、欧拉公式 252

第六节 傅里叶级数 253

一、三角函数系与三角级数 254

二、欧拉-傅里叶公式与傅里叶级数 255

三、正弦级数和余弦级数 260

四、一般周期函数的傅里叶级数 262

习题五 264

上册习题解答与提示 270