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第一章 矩阵代数 1

本章学习目标 1

第一节 行列式 1

一、行列式的定义 2

二、行列式的性质 3

三、行列式的计算 5

四、克拉默法则 8

习题 9

第二节 矩阵的概念及矩阵的运算 11

一、矩阵的概念 11

二、矩阵的运算 13

三、矩阵的初等变换 15

四、矩阵的秩 16

五、逆矩阵 17

习题 19

第三节 线性方程组 20

一、线性方程组的基本概念和定理 20

二、线性方程组解的结构 22

三、非齐次线性方程组的解的结构 23

习题 24

第四节 矩阵在图形变换中的应用 26

一、常见的几种二维几何变换矩阵 26

二、三维图形的基本变换矩阵 29

本章小结 30

复习题一 32

兴趣阅读——数学家韦达简介 37

第二章 集合论 38

本章学习目标 38

第一节 集合的基本概念与运算 38

一、集合的表示 38

二、集合之间的关系 39

三、集合的基本运算 40

习题 42

第二节 集合恒等式 43

一、基本集合恒等式 43

二、证明技巧 44

习题 45

第三节 包含排斥原理 46

习题 48

第四节 序偶与笛卡儿积 48

习题 50

第五节 关系及其表示 50

一、基本概念 50

二、关系表示法 51

习题 53

第六节 关系的运算 53

一、基本概念 53

二、运算的性质 55

三、关系幂 55

四、幂运算的性质 57

习题 57

第七节 关系的性质 58

一、关系的五种基本性质 58

二、关系性质的等价 59

习题 61

第八节 关系的闭包 61

一、基本概念 61

二、闭包的性质 64

习题 64

第九节 等价关系与相容关系 65

一、集合的划分和覆盖 65

二、等价关系 66

三、相容关系 69

习题 71

第十节 偏序关系 71

一、偏序关系的定义 71

二、偏序关系的哈斯图 72

三、偏序集中特殊位置的元素 73

习题 75

第十一节 函数的概念 76

一、函数和像 76

二、函数的性质 78

三、函数的复合 78

习题 79

本章小结 80

复习题二 81

兴趣阅读——数学家康托尔与集合论 84

第三章 数理逻辑 85

本章学习目标 85

第一节 命题与联结词 85

一、命题的概念 85

二、复合命题与联结词 86

习题 89

第二节 命题公式与赋值 90

一、合式公式的定义 90

二、公式的赋值 91

三、真值表 91

习题 93

第三节 等价式与蕴含式 94

一、等价式的概念 94

二、用真值表判断公式的等价 94

三、等价演算 95

四、蕴含式 97

习题 99

第四节 范式 101

一、简单合取式和简单析取式 101

二、范式 101

三、范式的唯一性——主范式 103

四、主析取范式的作用 107

五、主析取范式与主合取范式的联系 108

习题 108

第五节 联结词的完备集 109

一、n元真值函数 109

二、真值函数与命题公式的关系 110

三、联结词完备集 110

四、单元素联结词构成的联结词完备集 111

习题 112

第六节 推理理论 113

一、有效推理 113

二、直接证法 113

三、间接证法 116

习题 119

第七节 谓词逻辑的基本概念 120

一、个体词 121

二、谓词 121

三、量词 122

四、谓词逻辑命题符号化 122

习题 124

第八节 谓词公式与翻译 125

一、谓词语言 125

二、自由与约束 126

三、闭式 126

四、谓词公式的解释 127

五、谓词公式的分类 128

习题 129

第九节 谓词逻辑等值式 130

一、常用等值式 130

二、基本规则 131

三、等值演算 132

习题 134

第十节 谓词逻辑的前束范式 135

习题 136

第十一节 谓词逻辑推理理论 136

一、推理定律 136

二、推理规则 137

习题 140

本章小结 140

复习题三 141

兴趣阅读——数理逻辑简介 145

第四章 代数系统 149

本章学习目标 149

第一节 代数系统的概念 149

习题 151

第二节 代数系统的运算及其性质 152

一、运算的性质 152

二、特殊元 155

习题 159

第三节 半群与含幺半群 161

一、半群 161

二、含幺半群 162

习题 164

第四节 群与子群 166

一、群 166

二、群的基本性质 167

三、子群 169

习题 170

第五节 交换群、循环群与置换群 171

习题 173

第六节 环与域 174

一、环 174

二、域 176

习题 177

第七节 格的概念及性质 178

一、格的定义 178

二、子格 180

三、格的性质 181

四、作为代数系统的格 183

习题 183

第八节 分配格与模格 185

一、分配格 185

二、模格 187

习题 187

第九节 有界格与有补格 188

一、有界格 188

二、有补格 189

习题 190

第十节 布尔代数 191

一、布尔代数的概念 191

二、布尔代数的性质 193

习题 195

本章小结 196

复习题四 197

兴趣阅读——群论的创始人伽罗华 200

第五章 图论初步 202

本章学习目标 202

第一节 图的基本概念 202

一、图的定义 202

二、图的相关概念和规定 203

三、顶点的度数与握手定理 204

四、图的同构、完全图与补图 206

习题 208

第二节 路与回路 209

一、通路与回路 209

二、通路与回路的性质 210

三、图的连通性 211

习题 213

第三节 图的矩阵表示 213

习题 217

第四节 欧拉图与哈密尔顿图 218

一、欧拉图 218

二、哈密尔顿图 219

习题 221

第五节 平面图 222

一、平面图的定义 222

二、欧拉公式 224

三、平面图的着色 227

习题 229

第六节树 230

一、树的定义 230

二、生成树与最小生成树 232

三、有向树 234

四、二叉树 236

习题 241

本章小结 242

复习题五 242

兴趣阅读——阿兰·麦席森·图灵与计算机 246

参考文献 247