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第一章　行列式 1

1.1　全排列及其逆序数 1

1.1.1　全排列 1

目录 1

1.1.2　逆序数 2

1.2　n阶行列式 4

1.2.1　二阶、三阶行列式 4

1.2.2　n阶行列式的定义 6

1.3　行列式的性质 9

1.4　行列式按行（列）展开 14

1.5　克莱姆法则 20

习题一 24

2.1　矩阵的概念 29

第二章　矩阵 29

2.2　矩阵的基本运算 31

2.2.1　矩阵的加法 31

2.2.2　数与矩阵的乘法 32

2.2.3　矩阵的乘法 33

2.2.4　矩阵的转置 36

2.3　常见的特殊矩阵 38

2.3.1　对角矩阵 38

2.3.2　数量矩阵 39

2.3.3　单位矩阵 40

2.3.4　对称矩阵 40

2.3.5　行阶梯形矩阵 41

2.4　逆矩阵 41

2.4.1　逆矩阵的概念及计算 42

2.4.2　逆矩阵的性质 46

2.5　分块矩阵 47

习题二 52

第三章　矩阵的初等变换与线性方程组 56

3.1　矩阵的初等变换 56

3.2　矩阵的秩 58

3.2.1　矩阵的秩的概念 58

3.2.2　用初等行变换求矩阵的秩 59

3.3　初等矩阵 61

3.3.1　初等矩阵的概念 61

3.3.2　用初等变换求逆矩阵 64

3.4　求解线性方程组的高斯-约当消元法 67

3.4.1 消元法 67

3.4.2　线性方程组的解 70

习题三 75

第四章　向量组的线性相关性及线性方程组的结构解 80

4.1　n维向量及其运算 80

4.2　n维向量空间 82

4.3　向量组的线性相关性 83

4.3.1　线性组合 83

4.3.2　线性相关与线性无关的概念 84

4.3.3　线性相关与线性无关的判别法 87

4.4　极大线性无关组与向量组的秩 89

4.4.1　极大线性无关组 89

4.4.2　极大无关组的初等变换求法 90

4.5　线性方程组解的结构 91

4.5.1 齐次线性方程组的基础解系及解的结构 91

4.5.2　非齐次线性方程组解的结构 96

习题四 98

第五章　矩阵的对角化 102

5.1　矩阵的特征值与特征向量 102

5.2　相似矩阵与矩阵的对角化 106

5.2.1　相似矩阵 106

5.2.2　矩阵的对角化 106

5.3　实对称矩阵的相似矩阵 110

5.3.1　向量的内积 110

5.3.2　正交向量组 111

5.3.3　正交矩阵与正交变换 114

5.3.4　实对称矩阵的相似矩阵 116

习题五 120

6.1　二次型及其矩阵表示 123

第六章　二次型 123

6.2　化二次型为标准形 126

6.2.1　用正交变换法化二次型为标准形 126

6.2.2　用配方法化二次型为标准形 129

6.2.3　用合同变换法化二次型为标准形 132

6.3　正定二次型 133

习题六 137

第七章　线性代数应用举例 140

7.1　矩阵与线性方程组的应用 140

7.1.1　Durer魔方 140

7.1.2　投入产出数学模型 144

7.1.3　线性规划数学模型 149

7.2　矩阵的特征向量与相似对角化的应用 154

7.2.1　基因遗传模型 154

7.2.2　层次分析法 159

7.2.3　常系数线性齐次微分（差分）方程组的解 164

7.3　实二次型理论的应用 169

7.3.1　二次曲线方程的化简 169

7.3.2　二次曲面方程的化简 172

7.3.3　求函数极值的应用 175

习题七 178

第八章　线性代数实验 180

8.1　Mathematica软件简介 180

8.1.1 概述 180

8.1.2　Mathematica的基本运算 186

8.1.3 Mathematica的图形功能 191

8.1.4　Mathematica的程序设计 195

8.2.1 向量和矩阵的输入 198

8.2　矩阵与向量的运算 198

8.2.2　向量的运算 200

8.2.3 矩阵的运算 201

8.3　求解线性系统 204

8.3.1　线性方程组的求解 204

8.3.2　线性规划的求解 205

8.4　矩阵的特征值、特征向量与二次型 206

8.4.1　特征值与特征向量的计算 206

8.4.2　二次型 207

8.5　矩阵的分解 207

8.5.1 矩阵的LU分解 207

8.5.2　矩阵的QR分解 208

习题八 209

参考答案 211