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第七章 无穷和 1

1 数项级数 1

1.1 基本概念 1

1.2 Cauchy收敛准则 5

练习题7.1 5

2 正项级数 6

2.1 第一比较判别法 6

2.2 第二比较判别法 11

练习题7.2 14

3 变号级数 16

3.1 绝对收敛与条件收敛 16

3.2 交错级数 17

3.3 Abel与Dirichiet判别法 18

练习题7.3 21

4 无穷级数的重排 21

4.1 条件收敛级数的正项分解 21

4.2 级数的Riemann重排 23

练习题7.4 26

5 无穷和的乘积 27

练习题7.5 31

复习题七 31

第八章 函数的无穷和构造 33

1 用无穷和构造新函数 33

1.1 函数项无穷级数所定义的函数 33

1.2 一致收敛性 35

1.3 一致收敛判别准则 37

1.4 函数的无穷和所构造的函数 39

练习题8.1 41

2 无穷次的多项式——幂级数 42

2.1 收敛半径 42

2.2 由幂级数所定义的函数 46

练习题8.2 48

3 初等函数的幂级数构造 48

3.1 无限光滑函数与幂级数 48

3.2 基本初等函数的幂级数表示 50

练习题8.3 58

4 用幂级数表示微分方程的解 59

练习题8.4 61

5 周期振动的谐波分析法 62

5.1 谐波分析——周期函数的三角展开 62

5.2 三角级数的均方逼近 69

5.3 Fourier系数的无穷小性质 72

5.4 Fourier级数的逐项可积性 73

练习题8.5 76

6 Fourier级数的逐点收敛性 77

6.1 Dirichilet积分公式和Rlemann-Lebesgue定理 77

6.2 Dini条件与Fourier级数的收敛性 81

练习题8.6 87

7 Fourier积分和Fourier变换 87

7.1 Fourier级数的复数形式 87

7.2 Fourier积分与Fourier变换 88

练习题8.7 90

复习题八 90

1 含参数的常义积分 92

1.1 含参数的积分和 92

第九章 含参数积分所定义的函数 92

1.2 含参数常义积分所定义的函数 94

练习题9.1 98

2 含参数的广义积分 99

2.1 含参数广义积分的一致收敛性 99

2.2 含参数广义积分所定义的函数 101

2.3 Euler积分 109

练习题9.2 114

复习题九 115

第十章 多变量微分学 117

1 基本概念和记号 117

1.1 n维Euclid空间Rn 117

1.2 矩阵 122

1.3 张量与多元多项式 126

1.4 向量的极限 128

1.5 Rn中的集合 130

练习题10.1 133

2 多变量实值函数及其极限 135

2.1 多变量实值函数的概念 135

2.2 多变量实值函数的极限 138

2.3 函数的收敛与一致收敛 140

练习题10.2 142

3 多变量实值函数的连续性 143

练习题10.3 145

4 多变量实值函数的导数与微分 146

4.1 可微与导数 146

4.2 方向可微与方向导数 151

4.3 可偏导与偏导数 153

4.4 可微、方向可微与可偏导之间的关系 156

4.5 函数的光滑性 161

练习题10.4 162

5 向量函数的导数与微分 164

5.1 向量函数及其连续性 164

5.2 向量函数的导数和微分 166

练习题10.5 168

6 矩阵和张量函数及其导数 169

7 求导法则 170

练习题10.7 175

8 多变量实值函数的高阶导数 176

8.1 高阶偏导数 176

8.2 高阶导数与高阶微分 180

8.3 高阶方向导数 183

练习题10.8 185

9 微分中值定理与Taylor公式 186

9.1 实值函数的微分中值定理与Taylor公式 186

9.2 向量函数的微分中值定理 190

练习题10.9 193

10 反函数和隐函数定理 193

10.1 反函数定理 193

10.2 隐函数定理 197

10.3 隐微分法 200

10.4 函数相关性 202

练习题10.10 205

11 光滑几何 207

11.1 R3中曲面的切平面和法向量 207

11.2 R3中曲线的切线与法平面 211

11.3 曲线的曲率 214

11.4 曲面沿给定方向上的曲线 216

练习题10.11 217

12 凸函数与最优化初步 218

12.1 凸函数与单调映射 218

12.2 最优化问题的提法 221

12.3 无约束极小化 223

12.4 等式约束极小化 231

12.5 光滑函数在有界闭集上的最大值和最小值 237

练习题10.12 242

第十一章 多变量Riemann积分的概念 244

1 Rn(n≤3)中的几何形体及其度量 244

1.1 曲线的长度 245

1.2 平面区域的面积、空间区域的体积 247

1.3 曲面的面积 248

2 多变量Riemann积分的概念 249

2.1 多变量Riemann积分的定义 250

2.2 关于积分术语、积分符号和微元法 251

练习题11.2 253

3 函数的Riemann可积性 254

4 多变量Riemann积分的性质 255

练习题11.4 257

5 多变量Riemann积分的具体形式 258

5.1 二重积分 258

5.2 三重积分 260

5.3 第一型曲线积分——对弧长的曲线积分 261

5.4 第二型曲线积分——对坐标的曲线积分 262

5.5 第一型曲面积分——对面积的曲面积分 266

5.6 第二型曲面积分——对坐标的曲面积分 267

练习题11.5 273

第十二章 多变量Riemann积分的计算 275

1 二重积分的计算 275

1.1 平面区域的正则剖分 275

1.2 化二重积分为一元累次积分 278

1.3 二重积分的变量替换 284

练习题12.1 291

2 三重积分的计算 293

2.1 空间区域及其正则剖分 293

2.2 化三重积分为累次积分 294

2.3 三重积分的变量替换 296

练习题12.2 301

3.1 无界区域上的广义二重积分 303

3 广义重积分 303

3.2 无界函数的广义二重积分 305

练习题12.3 305

4 第一型曲线积分的计算 306

练习题12.4 308

5 第二型曲线积分的计算 309

练习题12.5 311

6 第一型曲面积分的计算 312

6.1 光滑曲面的分析表述 312

6.2 化第一型曲面积分为二重积分 315

练习题12.6 322

7 第二型曲面积分的计算 323

7.1 积分域为正则曲面情形 323

7.2 积分域为参数方程表示的光滑曲面情形 325

7.3 第二型曲面积分计算举例 326

8 多变量Riemann积分变量替换公式小结 330

练习题12.7 330

第十三章 域内积分与边界积分之间的联系 334

1 Green公式 334

练习题13.1 339

2 梯度映射与平面曲线积分路径无关性 340

练习题13.2 345

3 Stokes公式 345

练习题13.3 351

4 梯度映射与空间曲线积分路径无关性 351

练习题13.4 353

5 Gauss公式 353

练习题13.5 359

1 外积与外微分式 361

第十四章 外微分 361

2 外微分 364

3 外微分的应用 365

附录一 空间解析几何概要 371

1 向量代数 371

1.1 向量概念 371

1.2 向量加法 371

1.3 向量数乘 372

1.4 共线与共面 373

练习题A.1 373

2 向量的内积、外积与混合积 374

2.1 内积 374

2.2 外积 375

2.3 混合积 376

练习题A.2 377

3 向量的坐标表示 377

练习题A.3 378

4 用坐标进行向量运算 379

4.1 线性运算 379

4.2 内积 379

4.3 外积 380

4.4 混合积 380

练习题A.4 381

5 三维Euclid空间R3 382

练习题A.5 383

6 R3中的平面与直线 383

6.1 平面方程 383

6.2 直线方程 385

6.3 相互关系 386

练习题A.6 388

7 R3中的曲面与曲线 390

7.1 图形与方程 390

7.2 柱面 391

7.3 锥面 391

7.4 回转面 392

7.5 椭球面 394

7.6 双曲面 395

7.7 抛物面 397

7.8 R3中的坐标变换和二次曲面 399

练习题A.7 401

附录二 练习题答案 403