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第1章 复数域 1

1.1 什么是复数 1

1.1.1 复数域的概念 1

1.1.2 复数的几何表示 4

1.1.3 复数的乘方与开方 7

习题1.1 9

1.2 复数列 9

1.2.1 复数列的极限 9

1.2.2 无穷远点与复数的球面表示 11

1.3 平面曲线与区域 12

1.3.1 平面点集 12

1.3.2 有界闭集 14

习题1.3 16

第2章 解析函数 18

2.1 复函数的极限 18

2.1.1 复函数 18

2.1.2 极限与连续 20

习题2.1 23

2.2 导数与解析函数 23

习题2.2 26

2.3 Cauchy-Riemann方程 26

习题2.3 30

2.4 指数函数与三角、双曲函数 31

习题2.4 34

2.5 常见多值函数 35

2.5.1 辐角函数 35

2.5.2 对数函数 36

2.5.3 根式函数 37

2.5.4 其他初等函数 40

习题2.5 42

第3章 复积分 43

3.1 复积分的概念 43

习题3.1 48

3.2 基本定理 49

3.2.1 Cauchy积分定理 49

3.2.2 原函数 51

习题3.2 54

3.3 Cauchy积分公式 54

3.3.1 Cauchy积分公式的导出 54

3.3.2 解析函数的无穷可微性 57

3.3.3 最大模原理 61

习题3.3 63

3.4 调和函数 64

习题3.4 70

第4章 解析函数的级数展式 71

4.1 Weierstrass定理 71

习题4.1 76

4.2 幂级数 77

习题4.2 81

4.3 Taylor级数 82

习题4.3 84

4.4 唯一性定理 85

习题4.4 86

4.5 解析开拓 87

习题4.5 89

4.6 Laurent级数 89

4.6.1 Laurent展式 90

4.6.2 孤立奇点 93

4.6.3 整函数与亚纯函数 97

习题4.6 98

4.7 Γ函数 99

第5章 留数 104

5.1 留数定理 104

习题5.1 108

5.2 积分计算 109

5.2.1 用留数计算实积分 111

5.2.2 多值函数的积分 118

5.2.3 杂例 120

习题5.2 124

5.3 辐角原理 125

习题5.3 133

第6章 共形映射 134

6.1 共形映射的概念和若干基本性质 134

6.1.1 共形映射的概念 134

6.1.2 共形映射的若干性质 136

习题6.1 138

6.2 分式线性变换 138

习题6.2 147

6.3 初等函数构成的共形映射 147

6.3.1 指数函数与对数函数 147

6.3.2 幂函数 149

6.3.3 儒可夫斯基映射 150

6.3.4 共形映射的几个综合例题 151

习题6.3 156

6.4 Schwarz-christoffel映射 156

6.5 解析函数在平面向量场中的应用 165

第7章 Laplace变换 176

7.1 Laplace变换的定义 176

7.2 拉氏变换的基本性质 178

7.2.1 线性关系 178

7.2.2 相似定理 179

7.2.3 本函数的微分法 179

7.2.4 本函数的积分法 182

7.2.5 像函数的微分法 183

7.2.6 像函数的积分法 184

7.2.7 关于t的位移性质——延迟性 185

7.2.8 关于p的位移性质 187

7.2.9 周期函数的像函数 187

7.2.10 卷积定理 188

7.3 由像函数求本函数 190

7.3.1 部分分式法 190

7.3.2 拉氏变换的反演公式 192

7.3.3 其他方法 194

习题7.3 195

附录 三次方程的Cardano公式 198

附表1 基本法则表 200

附表2 Laplace变换表 201

习题与思考题提示或解答 205