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第一章 函数、极限与连续 1

导读 1

第一节 集合与映射 3

一、集合 3

二、映射 7

第二节 一元函数 10

一、一元函数 10

二、函数的几种简单特性 14

三、反函数与复合函数 16

四、初等函数 18

第三节 数列的极限 27

一、数列极限的概念 27

二、数列极限的性质 34

第四节 函数的极限 38

一、函数在有限点处的极限 38

二、函数在无穷远处的极限 43

三、函数极限的性质 45

一、极限的四则运算法则 49

第五节 极限的运算法则 49

二、复合函数的极限运算法则 55

第六节 极限存在准则与重要极限 57

一、准则Ⅰ 57

二、准则Ⅱ 61

第七节 无穷小与无穷大 66

一、无穷小与无穷大 66

二、无穷小的比较 71

一、函数连续的概念 76

第八节 函数的连续性 76

二、连续函数的运算法则 79

三、初等函数的连续性 83

四、函数的间断点 84

第九节 闭区间上的连续函数 87

一、最大值与最小值定理 87

二、介值定理 88

要点解析 90

复习题一 94

第二章 导数与微分 101

导读 101

一、变化率问题举例 102

第一节 导数的概念 102

二、导数的定义 104

三、根据定义求导数举例 106

四、导数的几何意义 109

五、函数的可导性与连续性的关系 112

第二节 函数的四则运算的求导法则 114

一、函数的和、差的求导法则 114

二、函数的积的求导法则 116

三、函数的商的求导法则 119

第三节 反函数的导数 121

一、反函数的求导法则 122

二、指数函数的导数 123

三、反三角函数的导数 124

第四节 复合函数的求导法则 125

第五节 初等函数的导数和分段函数的求导举例 132

一、初等函数的导数 133

二、分段函数求导举例 134

第六节 高阶导数 135

第七节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 140

一、隐函数的导数 140

二、由参数方程所确定的函数的导数 144

三、相关变化率 149

第八节 函数的微分 151

一、微分的定义 151

二、函数可微与可导之间的关系 152

三、微分的几何意义 155

四、函数的微分公式与微分法则 156

五、复合函数的微分法则与微分形式不变性 157

第九节 微分的应用 159

一、微分在近似计算中的应用 159

二、微分在误差估计中的应用 163

要点解析 166

复习题二 169

第三章 微分中值定理与导数的应用 172

导读 172

第一节 微分中值定理 172

第二节 洛必达法则 179

一、？和？型未定式的洛必达法则 179

二、其他未定式的计算 183

第三节 泰勒公式 186

第四节 函数的单调性的判别法 196

第五节 函数的极值及其求法 202

第六节 最大值与最小值问题 208

一、函数在闭区间上的最大值和最小值 208

二、实际问题中的最大值和最小值 210

第七节 曲线的凹凸性与拐点 215

第八节 函数图形的描绘 219

一、曲线的水平渐近线与铅直渐近线 220

二、函数图形的描绘 220

第九节 曲线的曲率 225

一、平面曲线的曲率概念 225

二、曲率公式 227

第十节 方程的近似解 232

要点解析 233

复习题三 236

第四章 不定积分 241

导读 241

第一节 不定积分的概念、性质与简单计算 242

一、原函数与不定积分 242

二、基本积分表 245

三、不定积分的线性运算性质 247

第二节 不定积分的换元积分法 249

一、不定积分的第一类换元法 250

二、不定积分的第二类换元法 257

三、两类换元积分法的比较 260

第三节 不定积分的分部积分法 261

第四节 有理函数的不定积分 267

一、有理函数的不定积分 267

二、三角函数有理式的不定积分 274

要点解析 277

复习题四 280

导读 282

第五章 定积分及其应用 282

第一节 定积分概念 283

一、定积分概念产生的实际背景 283

二、定积分的定义 287

三、定积分的几何意义 290

四、定积分的性质 291

第二节 微积分基本定理 296

一、变上限的定积分 297

二、牛顿-莱布尼兹公式 300

一、定积分的换元法 305

第三节 定积分的换元法与分部积分法 305

二、定积分的分部积分法 312

第四节 定积分的几何应用举例 315

一、平面图形的面积 317

二、体积 321

三、平面曲线的弧长 325

第五节 定积分的物理应用举例 330

一、变力沿直线所作的功 330

二、水压力 334

三、引力 335

第六节 定积分的近似计算 337

一、矩形法 338

二、梯形法 338

三、抛物线法 340

第七节 反常积分 344

一、无穷限的反常积分 344

二、无界函数的反常积分 348

要点解析 350

复习题五 353

导读 358

第六章 微分方程 358

第一节 微分方程的基本概念 359

第二节 可分离变量的微分方程和齐次方程 362

一、可分离变量的微分方程 363

二、齐次型方程 371

第三节 一阶线性微分方程和伯努里方程 374

一、一阶线性微分方程 374

二、伯努利方程 378

第四节 可降价的二阶微分方程 380

一、y″=f(x)型的微分方程 380

二、y″=f(x,y′)型的微分方程 381

三、y″=f(y,y′)型的微分方程 382

第五节 线性微分方程解的结构 387

第六节 二阶常系数线性微分方程 390

一、二阶常系数齐次线性微分方程 390

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 394

三、二阶常系数线性微分方程的应用举例 401

要点解析 408

复习题六 410

复习题答案与提示 415

附录 几种常用的曲线 425