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第1章 引论 1

1.1 从早期的数学怪物谈起 1

1.1.1 von Koch(冯·科克)曲线 1

1.1.2 Sierpinski(希尔宾斯基)三角形 3

1.1.3 Cantor(康托尔)集 4

1.2 Mandelbrot和他的分形几何 5

1.3 分形的微积分公式 9

习题一 11

第2章 二维空间上的分形图形生成法 13

2.1 自相似的分形曲线 13

2.1.1 Levy曲线 13

2.1.2 皇冠分形曲线 15

2.1.3 桧树分形小枝 16

2.1.4 其他由主型产生的分形曲线 17

2.2 Mandelbrot集与Julia集 20

2.2.1 逃逸时间法 20

2.2.2 Mandelbrot集 22

2.2.3 Julia集 25

2.3 Newton分形和Mira公式 28

2.3.1 Newton分形 28

2.3.2 Gumowski-Mira公式 29

2.4 L-系统 30

2.4.1 简单的向前生成元格式 31

2.4.2 左右生成元的混合格式 32

2.4.3 分枝结构的简单进退格式 36

2.4.4 分枝结构带空指令的进退格式 38

2.4.5 随机L-系统 39

习题二 40

第3章 高维空间的分形图形生成 43

3.1 三维L-系统 43

3.1.1 一个较简单的系统 43

3.1.2 一个较复杂的系统 45

3.2 四元数分形 52

3.2.1 四元数基本理论 52

3.2.2 四元数Mandelbrot集和Julia集 57

3.3 随机分形风景 69

3.3.1 Brown(布朗)运动与随机中点位移法 69

3.3.2 分形山地景色 74

习题三 79

4.1 数学基础 80

第4章 分形空间与迭代函数系统IFS 80

4.2 分形空间 83

4.3 压缩映射与迭代函数系统IFS 86

4.3.1 压缩映射 86

4.3.2 迭代函数系统IFS 90

4.3.3 IFS反问题 96

4.4 凝聚IFS 拼贴定理 带参量IFS 103

4.4.1 凝聚IFS 103

4.4.2 拼贴定理 106

4.4.3 带参量IFS 109

习题四 113

第5章 测度与维 115

5.1 Hausdorff测度与维 115

5.1.1 Hausdorff测度 115

5.1.2 Hausdorff维 117

5.2 盒维(分形维) 121

5.1.3 Hausdorff维的等价定义 121

5.2.1 盒维(box dimension) 122

5.2.2 分形维 127

5.2.3 分形维的性质及与Hausdorff维的关系 129

5.2.4 盒维(分形维)的测定 133

5.3 q-维 136

5.4 π的维数 137

5.4.1 π的规范性 138

5.4.2 重标极差分析 139

习题五 145

第6章 分形插值 146

6.1.1 分形插值原理 147

6.1 分形插值函数 147

6.1.2 分形插值方法 149

6.1.3 分形插值曲线的分维数 155

6.2 广义分形插值 158

习题六 159

第7章 分形混沌动力系统 161

7.1 动力系统 161

7.1.1 动力系统引论 161

7.1.2 Feigenbaum常数 162

7.2 分形上的动力系统 172

7.2.1 码空间 172

7.2.2 Julia复动力系统及其IFS诠释 176

7.3.1 混沌引论 179

7.3 分形上的混沌动力系统 179

7.3.2 混沌动力系统 181

7.3.3 奇异吸引子 183

习题七 188

第8章 随机分形 189

8.1 随机引论 189

8.2 随机行走 191

8.2.1 人体随机行走的分形动态 191

8.2.2 非倾向性振荡分析 192

8.3 随机生长(凝聚) 196

8.3.1 扩散限制凝聚DLA 196

8.3.2 其他DLA现象 197

8.4 随机Internet交通 199

8.5 随机海岸线 201

习题八 204

第9章 分形图像压缩 205

9.1 图像压缩简介 205

9.1.1 冗余度压缩(熵编码) 207

9.1.2 限失真编码(熵压缩) 209

9.1.3 现有数字图像编码方法与图像质量的判别标准 210

9.2 分形图像压缩 212

9.2.1 局部迭代函数系统 212

9.2.2 分形图像压缩的基本方法 217

9.2.3 四叉树方法 220

9.2.4 自适应合并法 224

9.2.5 与向量量化的混合优化方法 229

习题九 235

主要参考文献 236